$x,\ y,\ z$に関する一次方程式
\[ 3x+2y-z=2x-3y+5z=4x+4y-2z \]
が成り立つとし，$x,\ y,\ z$はいずれも$0$でないとする．

(1)$x$と$y$を$z$で表しなさい．

(2)$\displaystyle \frac{x^2-y^2+z^2}{xy+yz-zx}$の値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)加法定理$\cos (x \pm y)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y$（複号同順）を用いて，
\[ \sin x \sin y=\frac{1}{2} (\cos (x-y)-\cos (x+y)) \]
を証明しなさい．
(2)$x+y=\pi$，$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{2}{3} \pi$のとき，$\sin x \sin y$の最大値，最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．

$f(a,\ b,\ c)=(a+b+c)^8$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(a,\ b,\ c)$を展開したときの$a^4b^4$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle a=x,\ b=\frac{1}{x},\ c=1$のとき，$f(a,\ b,\ c)$を展開したときの定数項を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3},\ \angle \mathrm{B}=\frac{\pi}{4},\ \mathrm{AB}=6 \sqrt{2}$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(2)空間のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$がある．$\overrightarrow{a}=(1,\ 2,\ -3)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 1,\ -1)$，$|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{c}$を成分で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$は初項が$8$，公差が$14$の等差数列とする．数列$\{b_n\}$は公比が正の等比数列とする．$a_1=2b_1$かつ$a_5=b_5$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)不等式$ax+3>2x$を解け．ただし，$a$は定数とする．

(2)$\displaystyle a=\frac{2}{\sqrt{3}+1},\ b=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$とするとき，$\displaystyle \frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$の値を求めよ．

(3)$2$本の平行な直線上にそれぞれ$3$個と$4$個の点がある．この中の$3$点を選んでできる三角形の個数を求めよ．

表の出る確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$，裏の出る確率が$\displaystyle \frac{2}{3}$の王冠がある．この王冠をくり返し$n$回投げるとき，多くとも$1$回だけ裏の出る確率を$p(n)$とする．

(1)$p(n)$を求めよ．
(2)$p(n+1)<p(n)$を示せ．
(3)$p(n) \leqq 0.2$となるような$n$の最小値を求めよ．

$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}},\ y=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$のとき次の式の値を求めなさい．

(1)$x^2y+xy^2$

(2)$\displaystyle \frac{y^2}{x}+\frac{x^2}{y}$

次の$[　]$をうめよ．

(1)どのような実数$x$に対しても，不等式$x^2+ax+a>-2x^2+x+1$が成り立つ定数$a$の値の範囲は$[　]$である．
また，$2$つの放物線$y=x^2+ax+a$と$y=-2x^2+x+1$が点$\mathrm{A}$を共有し，その点で共通な接線をもつとき，点$\mathrm{A}$の座標は$[　]$である．
(2)$a=3^{96}$のとき，$\sqrt[3]{a}$は$[　]$桁の整数である．また，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$は，小数第$[　]$位に初めて$0$でない数が現れる．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin x+\cos x+\sin 2x=-\frac{1}{2}$の解は，$x=[　]$である．また，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \sin y+\sqrt{3} \cos y+4 \cos^2 \left( y+\frac{\pi}{3} \right)=4$の解は，$y=[　]$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)方程式$x^2+2mx+y^2-2(m+1)y+3m^2-4m+6=0$が円を表すとき，$m$の値の範囲は$[　]$である．また，この円の半径が最大となるとき，その円と直線$y=kx+4$とが共有点をもつための$k$の値の範囲は$[　]$である．
(2)$10$本のくじの中に当たりくじが$k$本入っている．ただし，$0<k<10$とする．$\mathrm{A}$がくじを$1$本引き，その引いたくじをもとに戻さないで，続いて$\mathrm{B}$がくじを$1$本引く．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がどちらも当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$以下となるのは，$k$が$[　]$以下のときである．また，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がどちらもはずれてしまう確率が$\displaystyle \frac{1}{10}$以下となるのは，$k$が$[　]$以上のときである．

$2$つの直線$\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+1$と$y=0$とのなす角を$\theta_1$とすると，$\cos \theta_1=[　]$である．また，$2$つの直線$\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+1$と$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1$とのなす角を$\theta_2$とすると，$\cos \theta_2=[　]$である．