$s,\ t$を実数とし，$0<s<1$とする．座標空間内の$3$点
\[ \begin{array}{l}
\mathrm{P}((2-s)+s \cos t,\ 0,\ (2-s)+s \sin t), \\ \\
\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ (2-s)+s \sin t \right), \\ \\
\mathrm{R}(0,\ 0,\ (2-s)+s \sin t)
\end{array} \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を含む平面の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を示せ．

点$\mathrm{Q}$は，点$\mathrm{R}$を中心とし$\mathrm{RP}$を半径とする円周上に存在する．このとき，弦$\mathrm{PQ}$に対する弧$\mathrm{PQ}$と，半径$\mathrm{RP}$および半径$\mathrm{RQ}$で囲まれる扇形を$C$とする．ただし，$C$の中心角$\angle \mathrm{PRQ}$は$\pi$以下とする．

(3)$C$の面積を$s$と$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{R}$の$z$座標の動く範囲を$s$を用いて表せ．
(5)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_1$を$s$を用いて表せ．
(6)$t$が$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{3\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_2$を$s$を用いて表せ．
(7)上の$(5)$，$(6)$の$V_1$，$V_2$に対して，$s$が$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq s \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くときの$V_1-V_2$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．

次の等式が成り立つように，定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を定めよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left\{ \frac{3x^2-5x+4}{x-1}-(ax+b) \right\}=0$

(2)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2+cx+12}{x^2-5x+6}=d$

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がゲームをして，先に$3$勝した方が優勝する．各回のゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率を$\sin^2 \theta$，$\mathrm{B}$が勝つ確率を$\cos^2 \theta$とする．$t=\cos 4\theta$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)ちょうど$3$回目のゲームで優勝が決まる確率を$t$の$1$次式で表せ．
(2)ちょうど$4$回目のゲームで優勝が決まる確率$p(\theta)$を$t$の$2$次式で表せ．
(3)確率$p(\theta)$の最大値を求めよ．

空間内に$3$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 1,\ 0,\ \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 1,\ \frac{1}{\sqrt{2}},\ 0 \right)$がある．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とする．

(1)平面$\alpha$に関して原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と対称な点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\frac{\log x}{x^n} \quad (x>0) \]
で定める．ただし，$\log$は自然対数を表す．

$t>1$とするとき，座標平面において曲線$y=f_n(x)$の$x \leqq t$の部分，$x$軸，直線$x=t$の$3$つで囲まれている図形の面積を$S_n(t)$とする．また，$4$点$(1,\ 0)$，$(t,\ 0)$，$(t,\ f_n(t))$，$(1,\ f_n(t))$を頂点とする長方形の面積を$T_n(t)$とする．

(1)関数$f_n(x)$が極大となるときの$x$の値と，そのときの$f_n(x)$の極大値を求めよ．
(2)$t$が$t>1$を動くとき，$T_n(t)-S_n(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．
(3)$S_1(t)$と$S_n(t) (n \geqq 2)$を求めよ．
(4)各$n \geqq 2$に対して$T_n(t)=S_n(t)$となる$t (t>1)$がただ$1$つあることを示せ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$となることを用いてもよい．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，方程式
\[ \log_{\frac{1}{2}} \cos \theta-\log_{\frac{1}{4}} \sin \theta-\frac{3}{2} \log_2 \tan \theta=\frac{1}{2} (1-\log_23) \]
を満たす$\theta$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}=4a_n+\left( \frac{1}{3} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$を考える．$\alpha$を定数として
\[ b_n=a_n+\alpha \left( \frac{1}{3} \right)^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおくと$\displaystyle \alpha=\frac{[ア]}{[イ][ウ]}$のとき，$\{b_n\}$は初項$\displaystyle \frac{[エ][オ]}{[カ][キ]}$，公比$[ク]$である等比数列となる．これより
\[ a_n=\frac{[ケ]}{[コ][サ]} \left( [シ]^n-\left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^n \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．
(2)$a_1=1$である数列$\{a_n\}$が$5^{n+1}a_{n+1}+24a_{n+1}a_n-5^na_n=0 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たしているとき
\[ a_n=\frac{[ソ]^{n-1}}{[タ] \cdot [チ][ツ]^{n-1}-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．

$\displaystyle a=\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$，$\displaystyle b=\frac{1}{1-\sqrt{3}+\sqrt{5}}$，$\displaystyle c=\frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$，$\displaystyle d=\frac{1}{1-\sqrt{3}-\sqrt{5}}$とおく．

(1)$\displaystyle abcd=-\frac{1}{[ア][イ]}$である．
(2)$abc,\ abd,\ acd,\ bcd$の最小値は
\[ \frac{-[ウ]-[エ] \sqrt{3}-[オ] \sqrt{5}-[カ] \sqrt{15}}{[ア][イ]} \]
である．
(3)$ab+cd,\ ac+bd,\ ad+bc$の最小値は
\[ -\frac{[キ]}{[ア][イ]} \]
である．
(4)$a+b,\ a+c,\ a+d,\ b+c,\ b+d,\ c+d$の最小値は
\[ \frac{[ク][ケ]-[コ] \sqrt{3}-[サ] \sqrt{5}-[シ] \sqrt{15}}{[ア][イ]} \]
である．
(5)$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$
\[ =\frac{[ア][イ]x^4-[ス][セ]x^3+[ソ][タ]x^2+[チ]x-1}{[ア][イ]} \]
である．

数直線上に動点$\mathrm{P}$がある．$1$個のさいころを投げるという試行により$\mathrm{P}$を次の規則にしたがって，数直線上を移動させる．

$(\mathrm{A})$ 出た目の数が偶数であったら負の方向に$1$だけ移動させる．
$(\mathrm{B})$ 出た目の数が$1$であったら$0$だけ移動させる（その点にとどまる）．
$(\mathrm{C})$ $(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$以外であったら正の方向に$2$だけ移動させる．

最初動点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．

(1)試行を$4$回くり返したとき，規則$(\mathrm{A})$が$a$回，規則$(\mathrm{B})$が$b$回適用されたとすると，$a+b$のとりうる値の範囲は$[ア]$以上$[イ]$以下の整数全体であり，これを満たす$a,\ b$の組合わせは全部で$[ウ][エ]$通りである．
$a=1,\ b=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$であり，そのときの$\mathrm{P}$の座標の値は$[キ]$である．また，$a=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)試行を$4$回くり返したとき，$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある確率は$\displaystyle \frac{[コ][サ][シ]}{\kakkofour{ス}{セ}{ソ}{タ}}$である．
(3)試行を$1$回だけ行ったときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，試行を$4$回くり返したときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．

平面上で点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円の内側に$\mathrm{OP}=1$となる点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$で垂直に交わる$2$直線と円との交点を反時計回りの順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．

(1)$\mathrm{O}$と直線$\mathrm{AC}$との距離が$\displaystyle \frac{3}{5}$のとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は
\[ \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]} \sqrt{[オ][カ]} \]
である．
(2)$\mathrm{O}$と直線$\mathrm{AC}$との距離が$h$のとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とおくと，
\[ S^2=-[キ]h^4+[ク]h^2+[ケ][コ] \]
であり，$S$の最大値は$[サ]$，最小値は$[シ] \sqrt{[ス]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{CDP}$の面積を$S_2$とおくと，
\[ S_1 \cdot S_2=\frac{[セ]}{[ソ]} \]
が成り立ち，$S_1+S_2$の最小値は$[タ]$であり，最大値は$[チ]$である．