等比数列$\{a_n\}$について，$a_{10}=40$，$\displaystyle a_{15}=\frac{5}{4}$であるとき，以下の問に答えよ．ただし，$a_n$はすべて実数である．

(1)公比は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$である．

(2)$\displaystyle \sum_{n=15}^{19}a_n=\frac{[ノハヒ]}{[フヘ]}$である．

(3)$a_n<10^{-3}$を満たす最小の$n$は，$n=[ホマ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.301$として計算せよ．

原点を$\mathrm{O}$とする空間に四面体$\mathrm{OPQR}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の位置ベクトルをそれぞれ，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{r}$とするとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}$の位置ベクトル$\overrightarrow{g}$は，$\displaystyle \overrightarrow{g}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r})$となることを示せ．

次の問いに答えなさい．

(1)関数$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+5 \cos^2 x$の最大値と最小値を求めなさい．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{99} \log_{10} \frac{k}{k+1}$を求めなさい．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 (x+1)e^x \, dx$を求めなさい．

座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$をとる．また$0<s<1$，$0<t<1$とし，線分$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を，それぞれ$s,\ t$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle s=\frac{1}{4}$，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの$\angle \mathrm{APQ}$の大きさを$\theta$とする．このとき$\cos \theta$の値を求めなさい．ただし，$0^\circ<\theta<180^\circ$とする．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$l$とする．このとき$s,\ t$が，それぞれ$0<s<1$，$0<t<1$の範囲を動くときの$l$の最小値を求めなさい．

正の実数$a,\ b,\ c$に対して，不等式
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geqq \frac{9}{a+b+c} \]
を証明せよ．また，等号が成り立つための条件を求めよ．

台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$は平行，$\angle \mathrm{ABC}$は直角，$\mathrm{AD}=2$，$\mathrm{BC}=3$とする．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上を動くとき，ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{PC}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PD}} \]
の長さの最小値を求めよ．また，最小値を与える$\mathrm{P}$について$\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}$を求めよ．

関係式
\[ a_1=0,\quad \frac{1}{1-a_{n+1}}-\frac{1}{1-a_n}=2n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まる数列$\{a_n\}$に対して，次の問に答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ b_k=\sqrt{\frac{k+1}{k}} (1-\sqrt{a_{k+1}}) \]
とおく．このとき，すべての$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k<\sqrt{2}-1$が成り立つことを示せ．

$p$を定数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^x-\left( 1+\frac{1}{2}x \right) (1+px) \]
と定める．

(1)$p=0$のとき，$x \geqq 0$ならば$f(x) \geqq 0$であることを示せ．
(2)「$x \geqq 0$ならば$f(x) \geqq 0$」が成り立つような定数$p$の取り得る値の範囲を求めよ．

等式
\[ \frac{1}{x^3-x}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x}+\frac{c}{x+1} \]
が恒等式となるように定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．また，それを利用して
\[ \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^3-n} \]
を求めよ．

$t>0$とし，放物線$\displaystyle C_1:y=-\frac{1}{16}x^2-\frac{8}{9}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ -\frac{1}{16}t^2-\frac{8}{9} \right)$における法線を$L$とする．ただし，点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と直交する直線のことである．

(1)$L$が放物線$C_2:y=x^2$に接するとき，$t$の値を求めよ．
(2)$t$が$(1)$での値をとるとき，$C_1,\ C_2,\ L$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．