以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{n^2}{250},\ \frac{n^3}{256},\ \frac{n^4}{243}$がすべて整数となるような正の整数$n$のうち，最小のものを求めよ．
(2)$90^\circ<x<180^\circ$のとき，不等式$\displaystyle \frac{\sin 5x}{\sin x}<\frac{\cos 5x}{\cos x}$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，点$\mathrm{B}(0,\ b)$，点$\mathrm{C}(c,\ 0)$がある．ただし，$b>2$，$c>2$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とし，$\angle \mathrm{OCA}=\alpha$，$\angle \mathrm{OCB}=\beta$，$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\tan \alpha$を$c$で表せ．また，$\tan \beta$を$b,\ c$で表せ．
(2)$\tan \theta$を$b,\ c$で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$b$を$c$で表せ．
(4)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$b$と$c$がともに整数となるような$(b,\ c)$の組をすべて求めよ．

以下の問に答えなさい．

(1)円周上に異なる$m (m \geqq 3)$個の点がある．このうち$3$個の点を頂点としてできる三角形の数を$f(m)$とすると，$f(12)=[ラリル]$である．また，
\[ f(3)+f(4)+\cdots +f(11)+f(12)=[レロワ] \]
であり，
\[ \frac{1}{f(3)}+\frac{1}{f(4)}+\cdots +\frac{1}{f(11)}+\frac{1}{f(12)}=\frac{[ヲン]}{44} \]
である．
(2)円周上に異なる$n (n \geqq 3)$個の点がある．これらのうち，$3$個から$n$個の点を頂点としてできる多角形の総数を$S(n)$とするとき，$S(n)$を$n$の式で表しなさい．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$2$次方程式$x^2+2(a-\sqrt{3})x-3 \sqrt{3}a+9=0$が$2$つの異なる実数解をもち，$x^2+ax+1=0$が虚数解をもつような$a$の値の範囲は$[1]<a<[2]$である．
(2)$\displaystyle 0<x \leqq \frac{\pi}{2}$とするとき，$\displaystyle 2-\cos^2 x+\frac{1}{4 \sin^2 x}$の最小値は$[3]$であり，そのときの$x$の値は$[4]$である．
(3)$y=|x-1|-|2x-4|$は$x=[5]$のときに最大値$[6]$をとる．
(4)$4^{200}$は$[7]$桁の整数である．また，$3^{-200}$は小数第$[8]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(5)袋の中に，$3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5$の$9$つの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の玉があり，この中から$2$個取り出す．このとき，取り出された$2$個の玉に書かれた数の和が$8$となる確率は$[9]$であり，数の和の期待値は$[10]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)方程式$|3x-2|+x-5=1$を解くと$x=[ア]$である．また，不等式$2x^2-4>|x-1|$を解くと$[イ]$である．
(2)実数$a$に対し，$3$次方程式$x^3+(a-2)x^2+(16-2a)x-32=0$を考える．この方程式の解のうち$a$によらない解は$x=[ウ]$である．また，この方程式が$2$重解をもつような$a$の値を求めると$a=[エ]$である．
(3)$0<a<1$のとき，$x$についての方程式
\[ \log_2 (8ax-1)+\frac{\log_a (x-a)}{\log_a 2}+1=\log_2 2a \]
の解を$a$で表すと$x=[オ]$である．また，この解を最小にする$a$の値を求めると$a=[カ]$である．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{DA}=4$とし，対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{BE}$の長さの比$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BE}}$の値を求めると$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BE}}=[キ]$であり，$\mathrm{AE}$の長さを求めると$\mathrm{AE}=[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^x-4 \left( \frac{1}{3} \right)^{x-1}+27 \leqq 0$を満たす$x$の範囲は$[ア]$であり， \\
$\log_2 \left( \log_5 (x+1)+\log_5 (x+3) \right)<1$を満たす$x$の範囲は$[イ]$である．
(2)整式$P(x)$を$(x+1)(x-2)$で割ると余りは$2x+9$，$(x+1)(x+2)$で割ると余りは$-10x-3$になる．このとき$P(x)$を$(x+1)(x-2)(x+2)$で割ると，余りは$[ウ]$となる．また，$P(x)$を$(x-2)(x+2)$で割ると，余りは$[エ]$となる．
(3)関数$f(x)=x^3+3ax^2+b (b>0)$があり，方程式$f(x)=0$は$3$つの異なる実数解をもつ．このとき，実数$a$と$b$が満たす関係は$[オ]$であり，$f(x) \leqq f(0)$となる$x$の範囲は$[カ]$である．
(4)面積が$S$の正方形がある．この正方形の$4$辺をそれぞれ$1:3$に内分する点をとり，これら$4$つの内分点を頂点とする新たな正方形をつくる．この操作によってできる新たな正方形の面積は$[キ]$である．新たにできた正方形に同じ操作をほどこして，さらに新しい正方形をつくる．この操作を少なくとも$[ク]$回おこなうと，最後にできた正方形の面積が$\displaystyle \frac{1}{100}S$以下になる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(5)放物線$y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとり，$\mathrm{A}$における接線を$\ell$とする．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とし，線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点$\mathrm{P}$をとる（$0<t<1$）．$\mathrm{P}$を通り$y$軸と平行な直線が，$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$，放物線と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{QR}$の長さは$[ケ]$であり，$\mathrm{QR}:\mathrm{RP}=[コ]$である．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と直線$\ell:y=x$がある．$C$上に点$\mathrm{P}$があり，$x$軸の正の部分を始線として，動径$\mathrm{OP}$の表す正の角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle \frac{1}{4}\pi<\theta<\pi$である．

(1)$\ell$に関して$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$x$軸に関して$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{R}$をとる．三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$S$が最大になるときの$\theta$と$S$の値を求めよ．

空欄$[　]$に当てはまるものを入れよ．

$t$を正の実数とする．座標平面上の放物線$C_1:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．$\mathrm{P}$において$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とし，$\mathrm{P}$において$\ell_2$に接する放物線$C_2:y=-x^2+ax+b$を考える．次の問に答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$のもう一つの交点$\mathrm{Q}$は$([ア],\ [イ])$であり，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$([ウ])^{[エ]}$である．
(2)$C_1$と$C_2$によって囲まれる部分の面積$S$は
\[ \frac{[オ]}{[カ]} \cdot ([キ])^{[ク]} \]
であり，$S$は$\displaystyle t=\frac{[ケ]}{[コ]}$のときに最小値$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$を取る．

(3)$C_2$の頂点$\mathrm{R}$は$([ス],\ [セ]+[ソ])$であり，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心の軌跡は
\[ y=\frac{[タ]}{[チ]}x^2+\frac{[ツ]}{[テ]} \]
である．

半径$R$の円に，四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している．$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\sqrt{19}$，$\mathrm{AD}=2$，$\mathrm{CD}=3$のとき，$\mathrm{AC}=\sqrt{[アイ]}$，$\displaystyle R=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$，$\mathrm{BD}=[カ]$である．

$a$は実数とする．$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=3x^3-5x^2-4x+4$のとき，以下の問に答えよ．

(1)$f(x)=[サ]x^2-[シス]x-[セ]$である．

(2)$a$の値は小さい順に$[ソタ]$，$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$，$[テ]$である．
(3)$\displaystyle b \int_{x-1}^{x+1}f(t) \, dt+cx=xf^\prime(x)-2$を満たす$b,\ c$は，$b=[ト]$，$c=[ナニ]$である．