空欄$[　]$に当てはまるものを入れよ．

(1)$5$個の数字$0$，$1$，$2$，$3$，$4$を並べて$5$桁の整数を作る．小さい順にこれらの整数を並べたとき，$57$番目の整数は$\fbox{\footnotesize \phantom{a}アイウエオ\phantom{a}}$である．また，偶数である整数は$[カキ]$個あり，$4$の倍数である整数は$[クケ]$個ある．
(2)次の連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_xy+2 \log_y x=3 \\
\log_x(y^2+xy)=2
\end{array} \right. \]
の解は$\displaystyle x=\frac{-[コ]+\sqrt{[サ]}}{[シ]}$，$\displaystyle y=\frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．
(3)自然数$1,\ 2,\ \cdots,\ n$の中から異なる二つの数を選んで積を作る．このような積全ての和を$S_n$とおく．ただし，$S_1=0$とする．$S_n$と$S_{n-1}$の間には漸化式
\[ S_n=S_{n-1}+n \cdot \frac{[タ]}{[チ]} \]
が成り立つ．これを使って，$S_n$を求めると
\[ S_n=\frac{1}{[ツテ]} \cdot n(n+1)([ト]) \]
となる．

空欄$[　]$に当てはまるものを入れよ．

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=r$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{PBC}=\angle \mathrm{PCA}=90^\circ$を満たす．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{b}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{c} \]
が成り立つ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{BCP}$であるのは$\displaystyle \cos \theta=\frac{[オ]}{[カ]}$のときである．このとき，$\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \cdot r^2$である．
(3)$\mathrm{AB}=\mathrm{BP}$であるのは$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケ]-\sqrt{[コサ]}}{[シ]}$のときである．

$xy$平面上に点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を中心とする円：$(x-1)^2+y^2=1$がある．この円周上に$4$点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{9}{5},\ \frac{3}{5})$，$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{13},\ \frac{5}{13})$，$\mathrm{C}(\alpha,\ \beta)$，$\mathrm{D}(\gamma,\ \delta)$がある．ただし，$\displaystyle \delta<-\frac{4}{5}$とする．$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$であり，三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{63}{65}$であるとする．

(1)点$\mathrm{C}$の座標は，$\displaystyle\left( \frac{[ツ]}{[テ]},\ -\displaystyle\frac{[ト]}{[テ]} \right)$である．

(2)$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[ナニ] \sqrt{[ヌネ]}}{[ヌネ]}$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BDC}=\frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[ハヒ]}$である．

(3)点$\mathrm{D}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[フヘ]}{[ホマ]},\ -\frac{[ミム]}{[メモ]} \right)$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BPD}=-\frac{[ヤユヨ]}{169}$である．

$n$を$3$以上の整数とする．$xyz$空間の平面$z=0$上に，$1$辺の長さが$4$の正$n$角形$P$があり，$P$の外接円の中心を$\mathrm{G}$とおく．半径$1$の球$B$の中心が$P$の辺に沿って$1$周するとき，$B$が通過してできる立体を$K_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$P$の隣り合う$2$つの頂点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$をとる．$\mathrm{G}$から辺$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$に下ろした垂線と$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{GQ}>1$となることを示せ．
(2)次の各問に答えよ．

(i) $K_n$を平面$z=t (-1 \leqq t \leqq 1)$で切ったときの断面積$S(t)$を$t$と$n$を用いて表せ．
(ii) $K_n$の体積$V(n)$を$n$を用いて表せ．

(3)$\mathrm{G}$を通り，平面$z=0$に垂直な直線を$\ell$とする．$K_n$を$\ell$のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$W(n)$を$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{V(n)}{W(n)}$を求めよ．

次の空欄に適する数，数式を入れよ．

(1)$f(x)=|2 \sin x-\cos 2x+\displaystyle\frac{1|{2}}$とおく．$\sin x=[ア]$のとき$f(x)$は最大値$\displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]}$をとる．また，$\sin x = \displaystyle\frac{[エ]+\sqrt{[オ]}}{[カ]}$のとき$f(x)$は最小値[キ]をとる．
(2)$x,\ y,\ z$は次の条件を満たす実数とする．
\[ 0 \leqq x \leqq y \leqq z \leqq \frac{4}{5}, \quad x+2y+z = 1 \]
このとき，$y$の最小値は$\displaystyle\frac{[ク]}{[ケ]}$，最大値は$\displaystyle\frac{[コ]}{[サ]}$である．
(3)不等式
\[ \log_2 x - 6\log_x 2 \geqq 1 \]
の解は
\[ \frac{[シ]}{[ス]} \leqq x < [セ], \quad x \geqq [ソ] \]
である．

$a,\ b$を実数とし，$C_1,\ C_2$をそれぞれ次の$2$次関数のグラフとする．
\[ C_1: y=x^2, \quad C_2: y=-(x-a)^2+2a+b \]

(1)$C_1$と$C_2$が共有点をもつための条件を$a$と$b$で表すと
\[ a^2+[タ]a+[チ]b \leqq 0 \]
となる．特に$b$のとりうる値の範囲は$b \geqq [ツ]$であり，$b=[ツ]$のとき$C_1$と$C_2$はただ$1$つの共有点$\left( [テ],\ [ト] \right)$をもつ．
(2)$b=6$とし，$C_1$と$C_2$は共有点をもつとすると，
\[ [ナ] \leqq a \leqq [ニ] \]
である．このとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とすると，$D$の面積$S$は
\[ S=\frac{1}{3} \left( [ヌ]a^2+[ネ]a+[ノ] \right)^{\frac{3}{2}} \]
と表される．$a=[ハ]$のとき$S$は最大値$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$をとる．
(3)$a=[ハ]$，$b=6$とし，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D_0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D_0$内を動くとき，$x+2y$の最大値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．

$a$を実数とする．座標平面において，放物線$C_a$
\[ C_a:y=-2x^2+4ax-2a^2+a+1 \]
および放物線$C$
\[ C:y=x^2-2x \]
を考える．

(1)$C_a$の頂点は常に直線$y=[ク]x+[ケ]$上にある．
(2)$C_a$と$C$が共有点をもつための必要十分条件は，
\[ \frac{[コ]}{[サ]} \leqq a \leqq [シ] \]
である．
(3)$\displaystyle a=\frac{[コ]}{[サ]}$のとき，$C_a$と$C$の共有点は$\mathrm{P}([ス],\ [セ])$である．

(4)$a=[シ]$のとき，$C_a$と$C$の共有点は$\mathrm{Q}([ソ],\ [タ])$である．

(5)$C$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である．
(6)$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<a<[シ]$の場合，$C_a$と$C$で囲まれる図形の面積は，$\displaystyle a=\frac{[テ]}{[ト]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]} \sqrt{[ヌ]}$をとる．

次の空欄$[ア]$から$[オ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．ただし，$e$は自然対数の底である．必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0.\ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}=0$を用いてもよい．

関数$\displaystyle f(x) = \frac{(x+1)^2}{e^x}$を考える．

(1)$f(x)$は$x=[ア]$において最小値[イ]をとる．
(2)$k$を定数とする．$x$についての方程式$f(x) = k$が二つの実数解をもつとき，$k=[ウ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標は
$[エ]-\sqrt{[オ]}, \quad [エ]+\sqrt{[オ]}$
である．

$x$の$3$次式$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$は，$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において
\[ f(\cos \theta) = \cos 3\theta - \sqrt{3} \cos 2\theta \]
を常に満たすとする．

(1)$a=[ア],\ b=[イ]\sqrt{[ウ]},\ c=[エ],\ d=\sqrt{[オ]}$である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において，$\cos 3\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta$は
\[ \theta = \frac{[カ]}{[キ]}\pi \text{のとき最小値} \frac{[ク]}{[ケ]}\sqrt{[コ]} \text{をとり，} \]
\[ \theta = \frac{[サ]}{[シ]}\pi \text{のとき最大値} \sqrt{[ス]} \text{をとる．} \]
(3)$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において，
\[ \cos 3\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta \geqq \alpha\cos \theta + \sqrt{3} \]
が常に成り立つような$\alpha$の最大値は$\displaystyle\frac{[セ]}{[ソ]}$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において，
\[ \cos 3\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta \leqq \beta\cos \theta + \sqrt{3} \]
が常に成り立つような$\beta$の最小値は$[タ]+[チ]\sqrt{[ツ]}$である．

$1$辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，
\[ \mathrm{PA} = \mathrm{PB} = \mathrm{PC} = \mathrm{PD} = \sqrt{5} \]
である四角錐$\mathrm{PABCD}$を考える．
（図は省略）

(1)四角錐$\mathrm{PABCD}$のすべての面に接する球の中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{P}$から底面$\mathrm{ABCD}$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき
\[ \mathrm{PH}=[テ],\quad \mathrm{OH}=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
である．
(2)辺$\mathrm{PB}$の中点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{PD}$の中点を$\mathrm{R}$とする．$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{C}$を含む平面と辺$\mathrm{PA}$との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき
\[ \mathrm{SP}=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \sqrt{[ネ]} \]
である．$\mathrm{S}$から線分$\mathrm{AC}$に垂線$\mathrm{ST}$を下ろすとき
\[ \mathrm{ST}=\frac{[ノ]}{[ハ]},\quad \mathrm{CT}=\frac{[ヒ]}{[フ]} \]
である．さらに，四角形$\mathrm{CRSQ}$の面積は
\[ \frac{[ヘ]}{[ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．