$a>0$，$a \neq 1$とするとき，次の問に答えよ．

(1)正の実数$x,y$に対して，$\displaystyle\log_a\frac{x+y}{2}$と$\displaystyle\frac{1}{2}(\log_ax+\log_ay)$の大小関係を調べよ．
(2)実数$x,y$に対して，$\log_a(x+y)=\log_ax+\log_ay$が成り立つとき，$\displaystyle\frac{1}{x}$および$\displaystyle\frac{1}{y}$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$において，$k=2x+y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$\log_a(x+y)=\log_ax+\log_ay$を満たす整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．

数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は原点を出発して，さいころを$1$回投げるごとに，$2$以下の目が出たときには正の向きに$1$だけ進み，$3$以上の目が出たときには負の向きに$2$だけ進むものとする．

(1)さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にくる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．ただし，[イ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(2)さいころを$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の座標が$-4$または$2$になる確率は$\displaystyle\frac{[ウ]}{[エ]}$である．ただし，[エ]はできるだけ小さな自然数で答えること．

三角形OABにおいてOA$=4$，OB$=5$，AB$=7$とする．点Pは辺OAの中点，点Qは辺ABを$2:1$に内分する点とする．さらに点Rは辺OB上にあり$\angle$PQR$=90^\circ$である．このとき，
\[ \text{OR} = \frac{[オ]}{[カ]} \text{OB} \]
である．ただし，[カ]はできるだけ小さな自然数で答えること．

曲線$x^2+y^2=100\ (x \geqq 0 \text{かつ} y \geqq 0)$を$C$とする．点P，Qは$C$上にあり，線分PQの中点をRとする．ただし，点Pと点Qが一致するときは，点Rは点Pに等しいものとする．

(1)点Pの座標が$(6,\ 8)$であり，点Qが$C$上を動くとき，点Rの軌跡は，
\[ \left( x-[キ]\right)^2 + \left(y-[ク]\right)^2 = [ケ],\]
\[ [コ] \leqq x \leqq [サ], \ [シ] \leqq y \leqq [ス] \]
である．
(2)点P，Qが$C$上を自由に動くとき，点Rの動く範囲の面積は，
\[ \frac{[セ]}{[ソ]} \pi + [タ] \]
である．ただし，[ソ]はできるだけ小さな自然数で答えること．

表が出る確率が$a \ (0<a<\displaystyle\frac{1}{2})$，裏が出る確率が$1-a$のコインを1枚投げる試行を$n$回行う．ただし$n \geqq 2$とする．この$n$回の試行の結果，表が$2$回以上出る事象を$A_n$で表す．また$1$回目から$n$回目の試行が終わるまでに，[裏→表]の順で出ない事象を$B_n$で表す．つぎの問に答えよ．

(1)確率$P(A_n),\ P(B_n)$を求めよ．
(2)確率$P(A_n \cap B_n)$を求めよ．
(3)極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{P(A_n)P(B_n)}{P(A_n \cap B_n)} \]
を求めよ．ただし，$0<r<1$をみたす$r$に対して，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} nr^n = 0$となることを証明なしに用いてよい．

$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる．$\displaystyle\frac{\pi}{4} \leqq \angle\mathrm{APB} \leqq \pi$をみたす平面上の点$\mathrm{P}$の全体と点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$からなる図形を$F$とする．つぎの問に答えよ．

(1)$F$を図示せよ．
(2)$F$を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)整数$x,\ y$が$x^2-23y^2=1$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(2)$1<x+\sqrt{23}y<49$のとき，$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)$1$より小なる$x+\sqrt{23}y$が最大になるのは$x=[サ]$，$y=[シ]$のときである．

(4)曲線$y=x^2$，$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を$S$とする．この図形の面積の近似値を以下の方法を用いて求める．区間$0 \leqq x \leqq 1$を$n$等分し，$i (1 \leqq i \leqq n)$番目の区間$\displaystyle\frac{(i-1)}{n} \leqq x \leqq \frac{i}{n}$を底辺とする高さ$\displaystyle \left( \frac{i-\displaystyle\frac{1}{2}}{n} \right)^2$の長方形を考える．これらの長方形の面積の$i$についての総和を$S_n$とする．

(i) $S_n=[ス]$である．
(ii) $\displaystyle |S-S_n| \leq \frac{1}{30000}$となる$n$の最小値は$[セ]$である．

$f(x),\ g(x)$を$x$の整式とする．これらが
\[ f(x) = 2x + \int_0^1 g(t) \, dt \]
\[g(x) = x^2 \int_0^1 f(t) \, dt + 2 \]
を満たすとき，
\[ f(x) = [(1)] x + \frac{[(2)]}{[(3)]} \]
\[ g(x) = \frac{[(4)]}{[(5)]}x^2 +[(6)]x + [(7)] \]
となる．さらに，
\[ \int_{-1}^2 \left\{f(t)+2g(t)\right\}\,dt = \frac{[(8)][(9)][(10)]}{[(11)]} \]
\[ \int_0^2 f(t)g^{\prime}(t) \, dt= [(12)][(13)][(14)] \]
である．

$t$を実数の定数として，$x$の$3$次関数
\[ f(x) = \frac{1}{3}x^3-2^tx^2+(4^t-4^{-t})x \]
を考える．$f(x)$は$x=\alpha$において極大値を，$x=\beta$において極小値をとるとする．

(1)$\alpha,\ \beta$を$t$のなるべく簡単な式で表せ．
(2)$\alpha,\ \beta$が$\alpha\beta=1$を満たすとき
\[ t= \frac{1}{2} \left\{ \log_2 \left([(a)]+\sqrt{[(b)]}\right)-[(c)] \right\} \]
である．(a),\ (b),\ (c)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ．
(3)$\alpha,\ \beta$が$\beta-\alpha \geqq 12$を満たすときの$t$の値の範囲は
\[ t \leqq - [(d)] \log_2 [(e)] -1 \]
である．(d),\ (e)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ．

次の空欄に当てはまる数字を書け．

(1)$\mathrm{A}$の袋には赤玉$1$個と黒玉$15$個，$\mathrm{B}$の袋には黒玉$16$個が入っている．それぞれの袋から$1$個ずつ玉を取り出して交換する，という試行を$n$回繰り返したとき，赤玉が$\mathrm{A}$の袋に入っている確率を$p_n$とする．ただし，$n$は自然数である．例えば，
\[ p_1 = \frac{[$1$][$2$]}{[$3$][$4$]},\ p_2 = \frac{[$5$][$6$][$7$]}{[$8$][$9$][$10$]} \]
である．$p_{n+1}$を$p_n$で表すと，$p_{n+1}=\displaystyle\frac{[$11$]}{[$12$]}p_n+\displaystyle\frac{[$13$]}{[$14$][$15$]}$となるので，これより
\[ p_n = \frac{[$16$]}{[$17$]}\left\{1+\left(\frac{[$18$]}{[$19$]}\right)^n\right\} \]
と求まる．
(2)赤玉$7$個，白玉$10$個，青玉$n$個が入った袋から，同時に$4$個の玉を取り出すとき，それらが赤玉$1$個，白玉$2$個，青玉$1$個である確率を$q_n$とする．ただし，$n$は自然数である．$\displaystyle\frac{q_{n+1}}{q_n}$を$n$の式で表すと，
\[ \frac{q_{n+1}}{q_n} = \frac{n^2+[$20$][$21$]n+[$22$][$23$]}{n^2+[$24$][$25$]n} \]
となる．これより$n \leq [$26$]$の範囲で$q_n < q_{n+1}$が成り立ち，また，$n \geq [$27$]$の範囲で$q_n > q_{n+1}$が成り立つことがわかる．従って，$q_n$は$n= [$28$]$で最大値$\displaystyle\frac{[$29$][$30$]}{[$31$][$32$][$33$]}$をとる．