曲線$x^2+y^2=100$（$x \geqq 0$かつ$y \geqq 0$）を$C$とする．点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$は$C$上にあり，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致するときは，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{P}$に等しいものとする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標が$(6,\ 8)$であり，点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡は，
\[ (x-[キ])^2+(y-[ク])^2=[ケ],\ [コ] \leqq x \leqq [サ],\ [シ] \leqq y \leqq [ス] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$C$上を自由に動くとき，点$\mathrm{R}$の動く範囲の面積は，
\[ \frac{[セ]}{[ソ]}\pi + [タ] \]
である．ただし，$[ソ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

以下の問いに答えよ．

(1)無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$の和は$\displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]}$である．\\
\quad ただし，[ツ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(2)行列
\[ A=\frac{1}{\sqrt{2}} \biggl( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array} \biggr) \]
に対して，
\[ A^n = \biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)\]
となる最小の自然数$n$は[テ]である．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}(2-x^2\sin x)\,dx = [ト]$である．

実数$a$に対して関数$f(a)$を，
\[ f(a) = \int_1^2 \left|\frac{a}{x}-1\right|\, dx \]
と定める．$a$が$1 \leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき，$f(a)$の最小値は$[ナ]+[ニ]\sqrt{[ヌ]}$であり，最大値は$[ネ]+[ノ]\log [ハ]$である．ただし，[ヌ]，[ハ]はできるだけ小さな自然数で答えること．

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)次の等式
\[ \log_3x - \frac{1}{\log_9x} = (-1)^x \]
を満たす正の整数$x$の値は$[ア]$である
(2)定数関数でない関数$f(x)$が
\[ f(x) = x^2 - \int_0^1 (f(t)+x)^2dt \]
を満たすとき，$f(x)=[イ]$である．
(3)$0<\theta \leqq 180^\circ$とする．数列$\{a_n\}$を次で定める．
\[ a_1 = \cos\theta, \quad a_{n+1}= a_n^2-1 \]
このとき，$a_4 = a_5$となる$\cos\theta$の最大値は$[ウ]$である．
(4)体積が$1$の正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体の体積は$[エ]$である．

$p,\ q$を$1$でない自然数とする．このとき，
\[ 2(1-\log_210)\log_5 p + \log_2\frac{2012}{q} = 0 \]
を満たす$p$の値は$[ア]$である

赤球と白球をあわせて$12$個の球が入っている袋がある．この袋から同時に$2$個の玉を取り出すとき，それらが
同じ色である確率は$\displaystyle\frac{31}{66}$である．袋には白球よりも赤球が多く入っている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)袋に赤球は$[イ]$個入っている．
(2)この袋から同時に$3$個の球を取り出すとき，赤球が少なくとも$1$個含まれる確率は$\displaystyle\frac{[ウ]}{[エ]}$である．ただし，$[エ]$はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

$1$と$2$を用いて$n$桁の自然数を作る．このような$n$桁の自然数のうち，$3$の倍数となる数の個数を$a_n$，そうで
ない数の個数を$b_n$とする．
\[ a_1= [ク], \quad b_1=[ケ] \]
である．また，
\[ a_n+b_n = [コ]^n \]
であり，さらに，実数$p,\ q,\ r,\ s$を用いて，
\[ a_{n+1} = pa_n + qb_n \]
\[ b_{n+1} = ra_n +sb_n \]
と表すことができる．
\[ p=[サ],\quad q=[シ] \]
である．ここで，$c_n=\displaystyle\frac{a_n}{2^n}$とおくと，
\[ c_{n+1} = \frac{[ス]}{2}c_n + \frac{[セ]}{2}, \quad c_1 = [ソ] \]
となる．よって，
\[ a_n = \frac{[タ]}{3}\left([チ]\right)^n + \frac{[ツ]^n}{3} \]
である．

$k$を実数とする．$3$次関数
\[ f(x) = -x^3 + kx^2 +kx +1 \]
が$x=\alpha$で極小値をとり，$x=\beta$で極大値をとる．$3$点$\mathrm{A}(\alpha,\ f(\alpha))$，$\mathrm{B}(\beta,\ f(\beta))$，$\mathrm{C}(\beta,\ f(\alpha))$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$を満たすとき，
\[ \alpha + \beta = \frac{[テ]}{3}k, \quad \alpha\beta = \frac{[ト]}{3}k \]
である．したがって，
\[ k= \frac{[ナ] \pm [ニ]\sqrt{[ヌ]}}{2} \]
となる．ただし，[ニ]は自然数，[ヌ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

$0 \leqq x \leqq 1$において，連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
1-2x \leqq f(x) \\
x \leqq f(x) \\
f(x) \leqq 1
\end{array}
\right.
\]
を満たす$2$次関数$f(x)$で，定積分$\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx$の値を最小にする関数は，
\[ f(x) = [ネ]x^2 + [ノ]x + [ハ] \]
であり，その最小値は$\displaystyle\frac{[ヒ]}{[フ]}$となる．ただし，[フ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)実数$a,\ b$が$0 \leqq a \leqq \pi$，$a<b$をみたすとき，
\[ I(a,b) = \int_a^b e^{-x}\sin x\;dx \]
とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．
\[ \lim_{b \to \infty} I(a,\ b) = 0 \]
が成立するように$a$を定めよ．

(2)行列$A=
\begin{pmatrix}
\;\;\; a & b \;\;\;\; \\
\;\;\; c & d \;\;\;\;
\end{pmatrix}
$は$ad-bc=2$および$a+d=3$をみたし，かつ，ある行列
\[ B =
\begin{pmatrix}
\;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & 1 \;\;\;\;
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\;\;\; \alpha & 0 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & \beta \;\;\;\;
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & 1 \;\;\;\;
\end{pmatrix}^{-1}
\]
に対して$AB=BA$をみたしている．ただし$\alpha \neq \beta$とする．このような行列$A$をすべて求めよ．

(3)$c$を正の実数として，漸化式
\[ a_n = \frac{{a_{n-1}}^2}{3^n} \quad (n \geqq 1), \qquad a_0 = c \]
で定義される数列$\{a_n\}$を考える．このとき$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$となるような$c$の範囲を求めよ．
(4)実数$t$が$1 \leqq t \leqq 2$の範囲で動くとき，$xy$平面の直線
\[ y=(3t^2-4)x-2t^3 \]
が通る範囲を$H$とする．$H$の内，直線$x=1$と$\displaystyle x=\frac{20}{9}$ではさまれる部分の面積を求めよ．