$\displaystyle a>\frac{1}{4}$のとき，$x$についての方程式
\[ |ax^2-1|=|x^2-4| \]
を解け．

赤玉$2$個，黒玉$4$個，白玉$N$個が入った袋から，$2$個の玉を同時に取り出す．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$N \geqq 1$とする．

(1)取り出した$2$つの玉が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$以下であるとする．このとき$N$の取りうる値を求めよ．
(2)取り出した$2$つの玉が赤玉と白玉である確率を$P(N)$とするとき，$P(N+1)-P(N)$を求めよ．
(3)取り出した$2$つの玉が赤玉と白玉である確率が最大になる$N$を求めよ．

$x$の整式$f_n(x) (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f_0(x)=1,\quad f_1(x)=x, \\
f_{n+1}(x)=2xf_n(x)-f_{n-1}(x) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
で定める．

(1)方程式$f_5(x)=0$を解け．
(2)$f_n(\cos \theta)=\cos n\theta (n=2,\ 3,\ 4,\ 5)$を示せ．
(3)$\displaystyle \cos \frac{\pi}{10},\ \cos \frac{3\pi}{10},\ \cos \frac{7\pi}{10},\ \cos \frac{9\pi}{10}$の値を求めよ．

定数$a (a \neq 1)$に対し，$f(x)=x^3-(a+2)x^2+(2a+1)x-a$とする．

(1)方程式$f(x)=0$の解を$a$を用いて表せ．
(2)関数$f(x)$の極値を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$a$を用いて表せ．
ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．

$a$を正の定数とする．放物線$C:y=(1-x)(x+a)$と$C$上の動点$\mathrm{P}(t,\ (1-t)(t+a))$について，次の問に答えよ．ただし，$0<t<1$とする．

(1)$x$軸に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$，$xy$平面の原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$C$と$y$軸および$2$つの線分$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{OQ}$とで囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$t$と$a$で表せ．
(2)$S$を最大にする$t$が$\displaystyle \frac{3}{4}<t<\frac{4}{5}$の範囲に存在することを示せ．

$\displaystyle f(x)=x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x$として数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{4}{3},\quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$は区間$\displaystyle \frac{4}{5} \leqq x \leqq \frac{4}{3}$で減少することを示せ．

(2)$\displaystyle \frac{4}{5} \leqq a_n \leqq \frac{4}{3} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{3} \left( \frac{9}{25} \right)^{n-1} \leqq |a_n-1| \leqq \frac{1}{3} \left( \frac{9}{16} \right)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．

$2$つの関数
\[ f(x)=x^3+1,\quad g(x)=f(1)+f^\prime(1)(x-1)+\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(1)(x-1)^2 \]
について，次の問に答えよ．

(1)導関数の定義に従って$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$g(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$において常に$f(x) \leqq g(x)$であることを証明せよ．
(4)$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$と$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

空間において成分表示された$3$つのベクトルを
\[ \overrightarrow{a}=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2},\ 1,\ \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right),\quad \overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1),\quad \overrightarrow{c}=(1,\ 0,\ -1) \]
とする．これに対して原点$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルが
\[ \overrightarrow{a}+(\cos t) \overrightarrow{b}+(\sin t) \overrightarrow{c} \]
である点$\mathrm{P}$を考える．次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c}$をそれぞれ計算せよ．
(2)$t$が$0$から$2\pi$まで動くとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最大値，最小値とそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項目までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}a_n-n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたす．

(1)$a_1$を求めなさい．
(2)$a_2$を求めなさい．
(3)一般項$a_n$を求めなさい．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項目までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}a_n-n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたす．

(1)$a_1$を求めなさい．
(2)$a_2$を求めなさい．
(3)一般項$a_n$を求めなさい．