$p$を自然数とし，$r$を1より大きい実数とする．数列$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$をすべて満たしている．

$(ⅰ)$ $\displaystyle a_n=r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$(ⅱ)$ $a_2=p$
$(ⅲ)$ $a_3 \leqq 13$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$n$について，$a_{n+2}=pa_{n+1}-a_n$が成り立つことを証明せよ．
(2)$p$および$r$の値を求めよ．
(3)$m$を自然数とする．$2m$個の数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{2m}$のうち，3の倍数であるものすべての和を求めよ．

$3$以上の自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=3}^n \frac{\log k}{k} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \]
とおいて数列$\{S_n\}$を定める．次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ．
(2)$4$以上の自然数$n$に対して不等式
\[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ．

曲線$C:y=e^{-x}$上の点$\mathrm{A}(a,\ e^{-a})$における$C$の法線$m$と直線$\ell_1:x=a$に関して，以下の問いに答えよ．

(1)$\ell_1$と$m$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(2)$m$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とするとき，$\ell_2$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$\ell_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{P}$とおく．$a$が実数全体を動くとき，$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(4)$a$を(3)で求めた値とするとき，曲線$C$，$y$軸および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた部分を，$y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とするとき，極限$\displaystyle c=\lim_{n \to \infty}\frac{1+b^n}{a^{n+1}+b^{n+1}}$を考える．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$a=2,\ b=2$のとき，$c$の値を求めなさい．
(2)$a>2,\ b=2$のとき，$c$の値を求めなさい．
(3)$b=3$のとき，$\displaystyle c=\frac{1}{3}$となる$a$の範囲を求めなさい．

$n$を自然数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2$を求めよ．
(2)$0<r<1$とし，$S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1}$とおく．

(i) $S_n-rS_n$を求めよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}S_n$を求めよ．

(3)$a>0,\ b>0$に対して，不等式
\[ a+b-\sqrt{ab}<\sqrt{a^2+b^2}<a+b \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{\displaystyle\frac{1}{3^{2(k-1)}}+\frac{k^4}{n^6}}$を求めよ．

2次正方行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1+3 \sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\
\displaystyle\frac{5 \sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{1-3 \sqrt{3}}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array} \right) \]
について，次の問に答えよ．

(1)$A,\ B$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1},\ B^{-1}$を求めよ．
(2)$B^{-1}A^{-1}B,\ (B^{-1}A^{-1}B)^3$を求めよ．
(3)$A^7BX=B$をみたす2次正方行列$X$を求めよ．
(4)(3)の行列$X$について
\[ E+X^5+X^{10}+X^{15}+X^{20}+X^{25}=O \]
が成り立つことを示せ．ただし$E$は2次の単位行列，$O$は零行列とする．

$1$つの袋に赤玉と白玉の$2$種類の玉が合計$10$個入っている．この袋から同時に$2$個の玉を取り出すとき，そのうちの少なくとも$1$個が白玉である確率が$\displaystyle \frac{8}{15}$であるという．この袋に入っている白玉の個数を求めよ．

$a$が正の数で$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3$を満たしているとき，
\[ \frac{a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}-3}{a^2+a^{-2}-2} \]
の値を求めよ．

正の整数からなる数列$\{a_n\}$が$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ n \left( \frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}} \right)<2,\quad 2+\frac{1}{a_{n+1}}<(n+1) \left( \frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}} \right) \]
を満たし，かつ$a_2=2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_3$を求めよ．
(3)一般項$a_n$を推定し，それが正しいことを証明せよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k}}$を求めよ．

$p$を定数とする．初項$a_1=1$の数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．
\[ a_{n+1}-\frac{a_n}{2} \text{は整数，かつ} -\frac{1}{2}<a_{n+1}-p \leqq \frac{1}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$p=0$のとき，数列$\{a_n\}$の極限$\lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(2)$p=1$のとき，$b_n=a_{2n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{b_n\}$の極限$\lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(3)$p=1$のとき，数列$\{a_n\}$は収束するかどうか，理由を付けて答えよ．