区間$1 \leqq x \leqq 4$で定められた関数$\displaystyle f(x)=\sqrt{4x-x^2},\ g(x)=\sqrt{x \log \frac{4}{x}}$について，次の問いに答えよ．ただし対数は自然対数とする．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)区間$1 \leqq x \leqq 4$において$\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2 \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$と直線$x=1$で囲まれた部分を$D$とおく．$D$を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$W$を求めよ．

区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定められた関数$\displaystyle f(x)=\int_0^{2\pi} (\sin |x-t|) \cos 2t \, dt+\frac{2}{3} \cos x$の最大値，最小値を求めよ．また，最大値を与える$x$の値と最小値を与える$x$の値をすべて求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}$に対して，$xy$平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$C$の第$1$象限にある変曲点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)変曲点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle x=\tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とおく．このとき，不定積分
\[ I=\int \frac{dx}{x^2+1} \]
を$\theta$を用いて表せ．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(5)曲線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

$m$を9以下の自然数とする．箱の中に$m$枚のカードが入っており，それぞれのカードに$1,\ 2,\ \cdots,\ m$の数字がひとつずつ書かれている．ただし，異なるカードには異なる数字が書かれているものとする．この箱からカードを1枚引き，そのカードに書かれた数字を記録してから元に戻す．この操作を2回繰り返す．1回目に引いたカードに書かれた数字を$a$，2回目に引いたカードに書かれた数字を$b$とし，また，$a$を十の位，$b$を一の位とする，2桁の数を$n$とする．次の問に答えよ．

(1)$a+b$が3で割り切れる確率と$n$が3で割り切れる確率は等しいことを示せ．
(2)$a+2b$を3で割った余りと$n$を3で割った余りが等しくなる確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$となる$m$をすべて求めよ．

$n$は自然数とする．次の問に答えよ．

(1)次の不等式を示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}<2 \]
(2)$x>0$のとき，次の不等式を示せ．
\[ x-\frac{x^3}{6}<\sin x<x \]
(3)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n k \sin \frac{1}{k} \right) \]

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=\sqrt{2}$，$\mathrm{OC}=1$であり，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3}$，$\displaystyle \angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{4}$であるとする．また，3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$，平面$\alpha$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$で$\mathrm{CP}+\mathrm{PG}$を最小にする点を$\mathrm{P}_0$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表し，$\mathrm{CP}_0+\mathrm{P}_0 \mathrm{G}$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$は正の整数からなる数列で，$a_1=1,\ a_3=5,\ a_5=41$である．また，ある定数$s,\ t$について
\[ a_{n+1}=sa_n+t \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立っている．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$の値を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．さらに$a_{3n-2}$は$a_n$で割り切れることを示せ．
(3)$a_{n+1}$を$a_n$で割った余りを$b_n$とする．2以上の正の整数$m$に対して，次の和を求めよ．
\[ \sum_{k=2}^m \frac{a_k+b_k}{b_kb_{k+1}} \]

$k$は正の実数とする．$xy$平面において，$x$軸および2つの曲線
\[ C_1:y=k \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right),\quad C_2:y=\frac{1}{k}\sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
で囲まれた図形の面積を$S(k)$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$および$\sin \alpha$を$k$を用いて表せ．
(2)$S(k)$を$k$を用いて表せ．
(3)$k$が$k>0$の範囲を動くときの$S(k)$の最大値を求めよ．

$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．

$a$を正の定数とする．次の等式が成り立つとき，$\log a$の値を求めよ．
\[ \frac{\int_1^e \log (ax) \, dx}{\int_1^e x \, dx}=\int_1^e \frac{\log (ax)}{x} \, dx \]