1辺の長さが1の正三角形ABCと，線分BCを$1:2$に内分する点Dが与えられている．実数$x \ (0 \leqq x \leqq 1)$に対し，線分AB上の点Pと線分AC上の点Qを$\text{AP}=\text{CQ}=x$となるように定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)線分ADの長さを求めよ．
(2)三角形DPQの面積$S$を$x$の式で表せ．
(3)(2)の$S$について，$S$の最大値と最小値を求めよ．
(4)(2)の$S$の値が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}$となるとき，$x$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3x^2+2$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．また，グラフの概形をかけ．
(2)$\displaystyle -\frac{a}{2} \leqq x \leqq a$における$f(x)$の最大値$M$を求めよ．ただし，$a$は定数で$a>0$とする．
(3)$\displaystyle -\frac{a}{2} \leqq x \leqq a$における$f(x)$の最小値$m$を求めよ．ただし，$a$は定数で$a>0$とする．

$a,\ b$を定数とする．関数$f(x)$は$0<x<2$で定義され，条件
\[ f^\prime(x)=\frac{2a}{x(2-x)}+b,\quad f^\prime \left( \frac{1}{2} \right)=9,\quad f^\prime(1)=7,\quad f(1)=1 \]
を満たすとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．

(1)定数$p,\ q$を用いて$\displaystyle a_n=p \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)+q \left( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$と表すとき，$p,\ q$の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

$a$を正の実数とし，$\displaystyle f_n(x)=\int_0^x e^{-at}\sin nt \, dt \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_n(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{2}$とするとき，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_n(x)$が最大となる自然数$n$，およびそのときの最大値を求めよ．

$-1<x<1$を定義域とする関数$\displaystyle f_p(x)=\frac{x-p}{1-px}$，$\displaystyle f_q(x)=\frac{x-q}{1-qx}$ \ $(-1<p<1,\ -1<q<1)$について，次の問いに答えよ．

(1)定義域内のすべての$x$に対して，$-1<f_q(x)<1$を示せ．
(2)定義域内のすべての$x$に対して，$\displaystyle f_p(f_q(x))=\frac{x-r}{1-rx}$を満たすとき，$r$を$p$と$q$を用いて表し，$-1<r<1$を示せ．ただし，$f_p(f_q(x))$は$\displaystyle f_p(y)=\frac{y-p}{1-py}$に$y=f_q(x)$を代入したものを意味するものとする．
(3)定義域内のすべての$x$に対して，$f_p(f_q(x))=f_q(x)$を満たす$p$を求めよ．

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=(2 \sin \theta-3 \cos \theta)^2-(2 \sin \theta-3 \cos \theta)+1$の最大値$M$と最小値$m$を求めると，$(M,\ m)=[　]$．
(2)$x^2-4x-3=0,\ x>0$のとき，$2x^4+0x^3+1x^2+2x+2012=p+q\sqrt{7}$を満たす整数$p,\ q$は$(p,\ q)=[　]$．
(3)平面上に$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(-2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0)$がある．点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$ \\
の中点で点$\mathrm{X}$は線分$\mathrm{AC}$を$(1-t):t$に内分する点である．ただし， \\
$\displaystyle -4<a<0,\ b>0,\ 0<t<\frac{1}{2}$とする．直線$\mathrm{MX}$と直線$\mathrm{BC}$の \\
交点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BX}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．三角形$\mathrm{BCX}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{XPQ}$の面積を$S_2$とおくと，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=[　]$．
\img{2_2_2012_1}{40}

$C_1$を中心$(0,\ 0)$，半径$1$の円とし，$C_2$を中心$(0,\ 0)$，半径$r>1$の円とする．$ad-bc>0$を満たす行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で表される$1$次変換により円$C_1$が円$C_2$に移るとする．次の問いに答えよ．

(1)$a^2+c^2=b^2+d^2=r^2,\ ab+cd=0$が成り立つことを示せ．
(2)$a=r \cos \theta,\ c=r \sin \theta \ (\theta \text{は実数})$とおくとき，$b,\ d$を$r,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$B=\displaystyle\frac{1}{r} \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とする．また，$C_1$に外接し，$C_2$に内接する$8$個の相異なる円$S_1,\ S_2,\ \cdots,\ S_8$が次の$3$条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たしているとする．このとき，$r$を求めよ．

(i) 行列$B$で表される$1$次変換により$S_i \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$は$S_{i+1}$に，$S_8$は$S_1$に移る．
(ii) $S_{i+1} \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$は$S_i$に外接し，$S_8$は$S_1$にも外接する．
(iii) $S_1$は$S_3,\ S_4,\ \cdots, S_7$と交わらない．

曲線$C:y=\log x$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$をとり，$C$の$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線の交点について考える．次の問いに答えよ．

(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]

等式
\[ \begin{array}{lrr}
c=\sin 2\theta-2 \cos \theta & &\cdots\cdots① \\
\log_y(x-3)+\log_y(x+1)-1=0 \quad (y>0,\ y \neq 1) & & \cdots\cdots②
\end{array} \]
について，次の各問に解答しなさい．

(1)$①$式について，$\sin \theta+\cos \theta=1$とする．

(i) $\sin \theta$と$\cos \theta$のとりうる値を求めなさい．
(ii) $c$のとりうる値を求めなさい．
(iii) 1個のサイコロを投げるとき，2以下の目が出れば$\sin \theta=0$，3以上の目が出れば$\sin \theta=1$とする．$c$の確率分布を求め，さらに，$c$の平均と分散を求めなさい．

(2)$①$式について，$\displaystyle c=-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \sin \theta=\frac{1}{2}$とする．

(i) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\tan \theta$および$\theta$の値を求めなさい．
(ii) $0 \leqq \theta \leqq 10\pi$のとき，$\theta$がとりうるすべての値の合計を求めなさい．

(3)$②$式について，$y$を$x$の関数として$y=f(x)$と表す．

(i) 関数$f(x)$を$x$で表し，$x$のとりうる値の範囲を求めなさい．
(ii) $y=a$とするとき，$x$の値を$a$で表しなさい．ただし，$a$は$a>0,\ a \neq 1$を満たす定数である．