$a$は0でない定数とする．座標平面上の3点A$(a+2,\ a+1)$，B$(9,\ 0)$，C$(2,\ 1)$について，線分ABと線分ACが垂直のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)自然数$n$について，線分ABを$n:n+4$に内分する点をP$_n$，線分BCを$3:n$に内分する点をQ$_n$，線分CAを$n:1$に内分する点をR$_n$とする．$\triangle$P$_n$Q$_n$R$_n$の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle T_m=\sum_{n=1}^m \frac{S_n}{n}$とするとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}T_m$を求めよ．

曲線$C:y=x \sin x$について，次の問に答えよ．

(1)$C$の接線のうち，原点を通る接線の方程式をすべて求めよ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$と$C$との交点のうち，第1象限にあるものを$x$座標の小さい方から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$とする．線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$と$C$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)点Q$_n \displaystyle \left( \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi,\ \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi \right)$に対して，$\triangle$P$_{2n-1}$P$_{2n}$Q$_n$の面積を$T_n$とする．このとき，$n$によらずに$\displaystyle \frac{S_n}{T_n}$が一定であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_5 11$と$\log_6 15$と$\displaystyle \frac{3}{2}$の大小を比較し，小さい方から順に並べよ．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{4}=\frac{1}{5}$であるとき，$\alpha$と$\displaystyle \frac{\pi}{4}$の大小を比較せよ．

平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$と$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|=k$とするとき，$|\overrightarrow{b}|$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき，$|\overrightarrow{a}|$と$|\overrightarrow{b}|$の値をそれぞれ求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{P}_0(0,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$がある．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{n+1}$を以下のように順に定める．

線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$を点$\mathrm{P}_n$を中心として時計まわりに$60^\circ$回転させて得られる線分の上に，$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$となるように点$\mathrm{P}_{n+1}$を定める．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}_3$の座標を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$\mathrm{P}_{3k}$，$\mathrm{P}_{3k+1}$，$\mathrm{P}_{3k+2}$の座標をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_5 11$と$\log_6 15$と$\displaystyle \frac{3}{2}$の大小を比較し，小さい方から順に並べよ．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{4}=\frac{1}{5}$であるとき，$\alpha$と$\displaystyle \frac{\pi}{4}$の大小を比較せよ．

平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$と$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|=k$とするとき，$|\overrightarrow{b}|$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき，$|\overrightarrow{a}|$と$|\overrightarrow{b}|$の値をそれぞれ求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{P}_0(0,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$がある．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{n+1}$を以下のように順に定める．

線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$を点$\mathrm{P}_n$を中心として時計まわりに$60^\circ$回転させて得られる線分の上に，$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$となるように点$\mathrm{P}_{n+1}$を定める．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}_3$の座標を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$\mathrm{P}_{3k}$，$\mathrm{P}_{3k+1}$，$\mathrm{P}_{3k+2}$の座標をそれぞれ求めよ．

媒介変数$\theta$を用いて$\displaystyle x=2\cos \theta,\ y=3\sin \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$と表される曲線がある．

(1)この曲線について$\theta$を消去して，$x,\ y$の方程式を求め，その概形をかけ．
(2)曲線上の点P$(2\cos \theta,\ 3\sin \theta)$での接線の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$x$軸，$y$軸とで作られる三角形の面積$S$を$\theta$の関数として表せ．

$h$を$0<h<1$を満たす実数とし，
\[ f(x)=\bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1,\quad g(x)=- \bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1 \]
とする．

(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．