数列$\{c_n\}$を次のように定義する．
\[ c_1=1, c_{n+1}=1+\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{3} \left( c_n+\frac{1}{4^{n+1}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問に答えよ．

(1)$n \geqq 2$のとき，$\displaystyle a_n=1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4^n}$とする．このとき，$\displaystyle c_n=\frac{1}{3^{n-1}}+\sum_{i=2}^n \frac{a_i}{3^{n-i}} \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$を求めよ．

$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n \theta \, d\theta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$I_1$および$I_n+I_{n+2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(2)不等式$I_n \geqq I_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nI_n$を求めよ．

次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$n$を自然数とする．$x$の関数$f(x)=x^ne^{1-x}$について，$0<x<1$ならば$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2)自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^{1-x} \, dx$とおくとき，$I_1$を求めよ．さらに，$I_{n+1}$と$I_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)(2)の$I_n$に対して$\displaystyle a_n=\frac{I_n}{n!}$とおくとき，$\displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}=a_1-a_n$であることを示せ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=e-1$であることを示せ．

$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と点$\mathrm{P}_0(-1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_0$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(3,\ \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$上の点の列
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2-1)$を$C$とする．$a$は定数で$a>0$とし，点A$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2}(a^2-1) \right)$における$C$の接線を$\ell$とする．また$\ell$と直線$x=a$とのなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)点Aを通る直線で，$\ell$となす角が$\theta$であるが，直線$x=a$とは異なるものの方程式を求めよ．

極方程式$\displaystyle r=\frac{a}{2+\cos \theta}$で与えられる2次曲線がある．ただし，$a$は正の定数とする．このとき次の各問いに答えよ．

(1)この2次曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表せ．
(2)(1)で求めた2次曲線を$x$軸方向に$\displaystyle \frac{a}{3}$だけ平行移動した2次曲線を$C$で表す．$C$を直交座標$x,\ y$の方程式で表せ．また，この2次曲線$C$は$x$軸と2点AとBで交わる．この2点A，Bの座標を求めよ．ただし，Bの$x$座標は正とする．
(3)(2)で求めた2次曲線$C$上の$x$軸上にない点P$(\alpha,\ \beta)$から$x$軸に下ろした垂線をPHとする．さらにPと$x$軸に関して対称な点をQとするとき，次の値は定数であることを証明せよ．
\[ \frac{\text{PH} \cdot \text{QH}}{\text{AH} \cdot \text{BH}} \]

楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$および双曲線$\displaystyle C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0,\ b>0$とする．

(1)楕円$C_1$上の点$(x_1,\ y_1)$における接線の方程式は
\[ \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1 \]
であることを示せ．
(2)楕円$C_1$の外部の点$(p,\ q)$を通る$C_1$の2本の接線の接点をそれぞれA$_1$，A$_2$とする．直線A$_1$A$_2$の方程式は
\[ \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1 \]
であることを示せ．
(3)$(p,\ q)$が双曲線$C_2$上の点であるとき，直線$\displaystyle \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$は$C_2$に接することを示せ．

$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．また$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$とし，$A^2=-E \ $（$E$は$2$次単位行列）が成り立つとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)行列の和$A+A^2+A^3+\cdots +A^{15}+A^{16}+A^{17}$を求めよ．
(3)行列の和$A^{17}+A^{16}B+A^{15}B^2+\cdots +A^2B^{15}+AB^{16}+B^{17}$を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2-1)$を$C$とする．$a$は定数で$a>0$とし，点A$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2}(a^2-1) \right)$における$C$の接線を$\ell$とする．また$\ell$と直線$x=a$とのなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)点Aを通る直線で，$\ell$となす角が$\theta$であるが，直線$x=a$とは異なるものの方程式を求めよ．