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国立 宮崎大学 2012年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$について，次の各問に答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第1問$a$を正の定数とするとき，関数
\[ y=\left( \log_2 \frac{1+\sin x}{a} \right) \left( \log_4 \frac{1+\sin x}{2a} \right) \quad \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
の最小値を，$a$を用いて表せ．
\[ y=\left( \log_2 \frac{1+\sin x}{a} \right) \left( \log_4 \frac{1+\sin x}{2a} \right) \quad \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
の最小値を，$a$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2012年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$について，次の各問に答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第2問数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=\frac{1}{3}, a_{n+1}=\frac{1}{3-2a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の各問に答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$の値を求めよ．
(2)一般項$a_n$を予想し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ a_1=\frac{1}{3}, a_{n+1}=\frac{1}{3-2a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の各問に答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$の値を求めよ．
(2)一般項$a_n$を予想し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
国立 宮崎大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$
国立 香川大学 2012年 第5問$a$を正の定数とし，座標平面上に異なる2点$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{P}(x,\ 0)$をとる．線分の長さ$\mathrm{OP}$と$\mathrm{PA}$の比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$について，次の問に答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$を$x,\ a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}=\frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$とするとき，関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$を$x,\ a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}=\frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$とするとき，関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
国立 香川大学 2012年 第1問$\triangle$OABの辺OAを$1:2$に内分する点をC，辺OBを$3:2$に内分する点をDとする．$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{5}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$をみたす点をEとし，直線OEと直線BCとの交点をFとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\text{FC}:\text{CB}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\text{FC}:\text{CB}$を求めよ．
国立 香川大学 2012年 第2問$C_1$を，中心が$(1,\ 1)$，半径が1の円とする．円$C_2,\ C_3,\ C_4,\ \cdots$を次のように定める．
円$C_n$は，$x$軸，$y$軸および円$C_{n-1}$に接し，円$C_n$の半径$r_n$は，円$C_{n-1}$の半径$r_{n-1}$よりも小さいものとする．
このとき，次の問に答えよ．
(1)Oを原点とし，$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対してP$_n$を$C_n$と$C_{n-1}$の接点とするとき，OP$_n$の長さを$r_n$で表せ．
(2)$r_n$と$r_{n-1}$の関係式を求め，数列$\{r_n\}$が等比数列であることを示せ．
(3)円$C_6$は，原点を中心とした半径$\displaystyle \frac{1}{1000}$の円の内部に含まれることを示せ．
円$C_n$は，$x$軸，$y$軸および円$C_{n-1}$に接し，円$C_n$の半径$r_n$は，円$C_{n-1}$の半径$r_{n-1}$よりも小さいものとする．
このとき，次の問に答えよ．
(1)Oを原点とし，$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対してP$_n$を$C_n$と$C_{n-1}$の接点とするとき，OP$_n$の長さを$r_n$で表せ．
(2)$r_n$と$r_{n-1}$の関係式を求め，数列$\{r_n\}$が等比数列であることを示せ．
(3)円$C_6$は，原点を中心とした半径$\displaystyle \frac{1}{1000}$の円の内部に含まれることを示せ．
国立 香川大学 2012年 第1問$\triangle$OABの辺OAを$1:2$に内分する点をC，辺OBを$3:2$に内分する点をDとする．$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{5}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$をみたす点をEとし，直線OEと直線BCとの交点をFとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\text{FC}:\text{CB}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\text{FC}:\text{CB}$を求めよ．
国立 香川大学 2012年 第2問$C_1$を，中心が$(1,\ 1)$，半径が1の円とする．円$C_2,\ C_3,\ C_4,\ \cdots$を次のように定める．
円$C_n$は，$x$軸，$y$軸および円$C_{n-1}$に接し，円$C_n$の半径$r_n$は，円$C_{n-1}$の半径$r_{n-1}$よりも小さいものとする．
このとき，次の問に答えよ．
(1)Oを原点とし，$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対してP$_n$を$C_n$と$C_{n-1}$の接点とするとき，OP$_n$の長さを$r_n$で表せ．
(2)$r_n$と$r_{n-1}$の関係式を求め，数列$\{r_n\}$が等比数列であることを示せ．
(3)円$C_6$は，原点を中心とした半径$\displaystyle \frac{1}{1000}$の円の内部に含まれることを示せ．
円$C_n$は，$x$軸，$y$軸および円$C_{n-1}$に接し，円$C_n$の半径$r_n$は，円$C_{n-1}$の半径$r_{n-1}$よりも小さいものとする．
このとき，次の問に答えよ．
(1)Oを原点とし，$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対してP$_n$を$C_n$と$C_{n-1}$の接点とするとき，OP$_n$の長さを$r_n$で表せ．
(2)$r_n$と$r_{n-1}$の関係式を求め，数列$\{r_n\}$が等比数列であることを示せ．
(3)円$C_6$は，原点を中心とした半径$\displaystyle \frac{1}{1000}$の円の内部に含まれることを示せ．