次の問いに答えよ．

(1)実数$x \geqq 0$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ x-\frac{1}{2}x^2 \leqq \log (1+x) \leqq x \]
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=n^2 \int_0^{\frac{1}{n}} \log (1+x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\sum_{k=1}^n \log \left( 1+\frac{k}{n^2} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．

$a$を実数とする．$\theta$が
\[ \frac{1}{\sin \theta}-\frac{1}{\cos \theta}=a \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．ただし，$0^\circ<\theta<45^\circ$とする．

(1)$\cos \theta-\sin \theta$を$a$で表せ．
(2)$\displaystyle a=\frac{4}{3}$のとき，$\theta$と$25^\circ$の大小を比べよ．

$a$は$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$を満たす実数とし，$f(x)=x^2-2ax$とおく．次の問いに答えよ．

(1)2次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．
(2)2次不等式$f(x) \geqq x$を解け．
(3)$x$が$f(x) \geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．

平面上のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$が，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=3,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=6,\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=2$と
\[ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{4}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
を満たす．次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)ABを$2:1$に内分する点をPとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を求めよ．
(4)点Qが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{5}{6}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{17}{16}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
を満たすとき，Qが四角形OABCの内部にあることを示せ．

$a$は$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$を満たす実数とし，$f(x)=x^2-2ax$とおく．次の問いに答えよ．

(1)2次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．
(2)2次不等式$f(x) \geqq x$を解け．
(3)$x$が$f(x) \geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．

$\triangle$OABの辺OAを$1:2$に内分する点をC，辺OBを$3:2$に内分する点をDとする．$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{5}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$をみたす点をEとし，直線OEと直線BCとの交点をFとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\text{FC}:\text{CB}$を求めよ．

$C_1$を，中心が$(1,\ 1)$，半径が1の円とする．円$C_2,\ C_3,\ C_4,\ \cdots$を次のように定める．

円$C_n$は，$x$軸，$y$軸および円$C_{n-1}$に接し，円$C_n$の半径$r_n$は，円$C_{n-1}$の半径$r_{n-1}$よりも小さいものとする．

このとき，次の問に答えよ．

(1)Oを原点とし，$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対してP$_n$を$C_n$と$C_{n-1}$の接点とするとき，OP$_n$の長さを$r_n$で表せ．
(2)$r_n$と$r_{n-1}$の関係式を求め，数列$\{r_n\}$が等比数列であることを示せ．
(3)円$C_6$は，原点を中心とした半径$\displaystyle \frac{1}{1000}$の円の内部に含まれることを示せ．

$k$を実数とする．$xy$平面上の放物線$C:y=x^2+2x-2$と直線$\ell:y=kx$が異なる2点で交わるとし，交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$\alpha<\beta$である．$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$(\beta-\alpha)^2$を$k$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) \, dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$であることを示せ．
(3)$S^2$の最小値とそのときの$k$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$

$a$を正の定数とするとき，関数
\[ y=\left( \log_2 \frac{1+\sin x}{a} \right) \left( \log_4 \frac{1+\sin x}{2a} \right) \quad \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
の最小値を，$a$を用いて表せ．