$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．

(1)3以上の素数$p$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{p}{k} \right)+f \left( \frac{p}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．

$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ$1$つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^x \geqq 1+x \]
(2)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]

Oを原点とする座標平面上に点A$(0,\ 1)$があり，点Aからの距離が4である点P$(x,\ y)$が$x>0$，$y>1$をみたすように動く．直線APが$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$，点Pから$x$軸に垂線を下ろしたときの交点をQとする．以下の問いに答えよ．

(1)点Pの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形OAPQの面積$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$S$が最大となるときの$\sin \theta$の値を求めよ．
(4)四角形OAPQを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$V$が$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{4}$で最大となることを示せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{P}_0(1,\ 1)$，$\mathrm{Q}_0(1,\ 0)$がある．ある$p \ (0<p<1)$に対して，点$\mathrm{P}_1(p,\ p)$，$\mathrm{Q}_1(p,\ 0)$を定め，さらに，自然数$n$について点$\mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{Q}_{n+1}$を次のように定める．
\begin{itemize}
点$\mathrm{Q}_n$を通り直線$\mathrm{Q}_0 \mathrm{P}_1$と平行な直線と，直線$\mathrm{OP}_0$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．
点$\mathrm{P}_{n+1}$を通り$y$軸と平行な直線と，$x$軸の交点を$\mathrm{Q}_{n+1}$とする．
\end{itemize}
また，$\triangle \mathrm{Q}_{n-1} \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の面積を$S_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$S_1$を$p$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}_{n-1}$の$x$座標を$q$とするとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$S_n$を$p,\ n$を用いて表せ．
(4)$n$を定数として，$p$を$0<p<1$の範囲で動かすとき，$S_n$を最大にする$p$とそのときの$S_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$S_n$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nS_n$を求めよ．必要であれば，自然対数の底$e$について$\displaystyle \lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$が成り立つことを用いてよい．

（図は省略）

数列$\{x_n\}$を
\[ x_1=1,\ x_{n+1}=x_n+x_n(1-\log x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めることにする．$e$を自然対数の底として，以下の問に答えよ．

(1)実数$x$が$0<x<e$のとき，$\displaystyle \frac{1}{e}(e-x) < 1-\log x < \frac{1}{x}(e-x)$となることを示せ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$1 \leqq x_n < e$であることを示せ．
(3)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$\displaystyle e-x_{n+1}< \left(1-\frac{1}{e} \right) (e-x_n)$であることを示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=e$であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を$0$でない実数とする．$x$についての$3$次方程式$x^3-a^3=0$の$2$つの虚数解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin |2x| \, dx$を求めよ．
(3)連続する$3$つの自然数$a,\ b,\ c$があり，それらは$a^2+b^2=c^2,\ a<b<c$をみたすとする．このような$a,\ b,\ c$はただ$1$組しかないことを示せ．

単位時間あたり一定量の水の出るポンプを使ってプールに水を入れることを考える．以下の問いに答えよ．

(1)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプIを使うと2時間，ポンプIIを使うと3時間かかるとする．IとIIを同時に使うと何時間かかるか．
(2)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプAを使うと$a$時間，ポンプBを使うと$b$時間かかるとする．AとBを同時に使うと何時間かかるか．
(3)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプC$_1$，ポンプC$_2$いずれを使っても$c$時間かかるとする．C$_1$とC$_2$を同時に使うと，(2)で求めた時間と同じ時間がかかったという．$c$を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$c$を(3)で求めた$a,\ b$の式とするとき，不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq c$が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのは$a=b$の場合に限ることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10}3$は無理数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{6}{13} < \log_{10}3 < \frac{1}{2}$が成り立つことを示せ．
(3)$3^{26}$の桁数を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$k,\ n$は不等式$k \leqq n$を満たす自然数とする．このとき，
\[ 2^{k-1}n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1) \leqq n^k k! \]
が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n<3$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{9}{19} < \log_{10}3 < \frac{1}{2}$が成り立つことを示せ．