次の問いに答えよ．

(1)実数係数の二次方程式$x^2+2bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．この方程式が異なる2つの実数解を持たないとき，$\alpha+\beta+\alpha\beta$の最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{3}$が無理数であることを示せ．
(3)動点Pが現在$x$軸上の原点にある．コイン1個とサイコロ1個を同時に投げ，コインが表であれば点Pはサイコロの目の数だけ正の方向に進み，コインが裏であればサイコロの目にかかわらず負の方向に2だけ進む．この試行を3回続けて行ったとき，点Pが原点にある確率を求めよ．

三角形OABで$\displaystyle \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{6}$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)三角形OABの外接円の中心(外心)Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)頂点OとAからそれぞれの対辺ABとOBに下ろした垂線の交点(垂心)をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の値を求めよ．
(4)三角形OABの内接円の中心(内心)Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

関数$\displaystyle y=f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}$に関して，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$と$y=x$のグラフを描け．
(2)$\displaystyle 1<x_0<\frac{3}{2}$に対して，$x_{n+1}=f(x_n) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を定義する．このとき，$x_n > x_{n+1} \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)数列$\{a_n\}$が単調減少で，ある実数$L$に対して$a_n > L \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$ならば$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$が存在する．このことを用いて，数列$\{x_n\}$の極限を求めよ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項目までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}a_n-n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたす．

(1)$a_1$を求めなさい．
(2)$a_2$を求めなさい．
(3)一般項$a_n$を求めなさい．

$t$を実数とし，点Pの座標を$(t,\ -t^2)$とする．点Pと直線$\ell_1:2x+y+3=0$の距離を$d_1$とし，点Pと直線$\ell_2:2x-y+4=0$の距離を$d_2$とする．また，$d=d_1+d_2$とおく．

(1)$t=2$のとき，$d$の値を求めなさい．
(2)点Pが直線$\ell_1$上またはその上側にあるための$t$の条件を求めなさい．
(3)$\displaystyle d=\frac{13}{\sqrt{5}}$となる$t$の値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．
\[ \int \log (1+x) \, dx \]
(2)関数$f(x)$が区間$[0,\ 1]$で連続な増加関数であって，常に$f(x) \geqq 0$であるものとする．また，$n$を自然数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ 0 \leqq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) -\int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{n} \{ f(1)-f(0) \} \]
(3)$f(x)=\log (1+x)$に対して(2)の結果を用いて，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \log \left\{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) \left( 1+\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right\} \right] \]

袋の中に$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ書かれたボールが$n$個入っている．次の問いに答えよ．ただし$n \geqq 3$とする．

(1)袋の中から$3$個のボールを同時に取り出すとき，$3$個のボールに書かれた数の和が$8$になる確率を求めよ．
(2)袋から$1$個のボールを取り出して，書かれている数字を記録し袋に戻す．これを$3$回繰り返すとき，記録された$3$つの数字のうち，ちょうど$2$つが同じ数字になる確率を求めよ．
(3)$(2)$で求めた確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以上となる$n$の範囲を求めよ．

$a,\ b,\ c$を正の整数とするとき，等式
\[ \left( 1+\frac{1}{a} \right) \left( 1+\frac{1}{b} \right) \left( 1+\frac{1}{c} \right)=2 \cdots (*) \]
について次の問いに答えよ．

(1)$c=1$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a,\ b$は存在しないことを示せ．
(2)$c=2$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a$と$b$の組で$a \geqq b$を満たすものをすべて求めよ．
(3)等式$(*)$を満たす正の整数の組$(a,\ b,\ c)$で$a \geqq b \geqq c$を満たすものをすべて求めよ．

$1$つのさいころを$4$回投げ，出た目を$1$回目から順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．この$a,\ b,\ c,\ d$を用いて$x$の$2$次式
\[ f(x)=x^2-(a+d)x+(ad-bc) \]
を作る．次の問いに答えよ．

(1)どのようなさいころの目が出たとしても，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解を持つことを示せ．
(2)どのようなさいころの目が出たとしても，$2$次方程式$f(x)=0$は少なくとも$1$つの正の実数解を持つことを示せ．
(3)$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの実数解がいずれも$0$以上である確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$以上であることを示せ．

正の数からなる数列$\{a_n\}$に対し，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．すべての自然数$n$に対して，$\displaystyle \frac{a_n+3}{2}=\sqrt{3S_n}$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$S_n$を用いて表せ．
(3)$n$が自然数であるとき，数学的帰納法を用いて，$S_n=3n^2$が成り立つことを証明せよ．