$a,\ b$は定数で$a \neq 0$とする．自然数$n$に対して，整式$(ax+b)^n$を$x^2+1$で割った余りを$a_nx+b_n$と表し，
\[ I_n=\int_0^1 \frac{(ax+b)^n}{x^2+1} \, dx \]
とおく．

(1)行列$A$は，すべての$n$に対して，
\[ \biggl( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \biggr) \]
を満たす．行列$A$を求めよ．
(2)(1)で求めた行列$A$に対し，
\[ A^2+pA+qE=O \]
となる定数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
(3)(2)で求めた$p,\ q$に対し，定積分
\[ I_{n+2}+pI_{n+1}+qI_n \]
を求めよ．
(4)$a=1,\ b=-1$のとき$I_5$を求めよ．

$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$をみたす実数とする．$2$次関数$f(x)=x^2-2(\sin \theta)x+\sin^2 \theta$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$のグラフの頂点の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$f(x)$の区間$\displaystyle -\frac{1}{2} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値$M(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$M(\theta)$に対して，$\displaystyle \int_0^{2\pi}M(\theta) \, d\theta$の値を求めよ．

円周上に4点A，B，C，Dが反時計回りに並んでいる．直線ABと直線DCの交点をE，線分ACとBDの交点をFとする．$\text{AB}=1,\ \text{BE}=3,\ \text{AE}=4$であり，$\triangle$DCFの面積は$\triangle$ABFの面積の4倍である．$\displaystyle \text{FA}=x,\ \text{FB}=y,\ \text{CE}=t,\ \frac{y}{x}=u$とおいて，以下の問いに答えよ．

(1)$\text{FC},\ \text{FD}$を$x,\ y$で表せ．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$u$の値を求めよ．
(4)面積の比の値$\displaystyle \frac{\triangle \text{AED}}{\triangle \text{ABF}}$を求めよ．

各項が正の実数である数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$に対し，第1項から第$n$項までの和を$S_n$とおく．$a_n$と$S_n$の間に次の関係が成り立っているとする．
\[ S_n=\frac{1}{2}a_n^2+\frac{1}{2}a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$n$を自然数とし，3つの不等式$\displaystyle y \leqq -\frac{x}{n}+2,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$をすべてみたす整数の組$(x,\ y)$の個数を$a_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．このとき，$S_n=510$となる$n$を求めよ．

点Oを中心とする半径1の円に内接する正十角形の隣り合う頂点をA，Bとする．また，$\angle \text{OAB}$の二等分線と直線OBの交点をCとする．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle$ABCと$\triangle$OABは相似になることを示せ．
(2)辺ABの長さを求めよ．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$を求めよ．
(4)半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さを求めよ．

\begin{spacing}{2}
行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle -\frac{1}{4} & \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{4} \\
\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} & \displaystyle -\frac{1}{4}
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．
\end{spacing}


(1)$A^2,\ A^3$を求めよ．
(2)$n$を自然数とし，$\biggl( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \biggr)=A^n \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \biggr)$とするとき，$\biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
x_3 \\
y_3
\end{array} \biggr)$を求めよ．
(3)$xy$平面上の点P$_n$の座標を，(2)で定めた$(x_n,\ y_n)$とする．原点Oを中心とし，OP$_n$を半径とする円の面積を$S_n$とするとき，$S_1,\ S_2,\ S_3$を求めよ．
(4)(3)で定めた$S_n$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．

動点Pは，$xy$平面上の原点$(0,\ 0)$を出発し，$x$軸の正の方向，$x$軸の負の方向，$y$軸の正の方向，および$y$軸の負の方向のいずれかに，1秒ごとに1だけ進むものとする．その確率は，$x$軸の正の方向と負の方向にはそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{5}$，$y$軸の正の方向には$\displaystyle \frac{2}{5}$，および$y$軸の負の方向には$\displaystyle \frac{1}{5}$である．このとき次の問いに答えよ．

(1)2秒後に動点Pが原点$(0,\ 0)$にある確率を求めよ．
(2)4秒後に動点Pが原点$(0,\ 0)$にある確率を求めよ．
(3)5秒後に動点Pが点$(2,\ 3)$にある確率を求めよ．

$0$以上の整数$n$に対して，$\displaystyle f_n(x)=\frac{x^ne^{-x}}{n!}$とおく．ただし，$0!=1$とし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 1$のとき，$f_n(x)$の導関数を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n f_k(x)$の導関数を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_0^1 f_n(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle e>\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$を示せ．

関数$f(x)=2\sin x \cos x - \tan x+2x$について，次の問いに答えよ．

(1)区間$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$における$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{6},\ x=\frac{\pi}{3}$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．