「分数」について
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国立 東京医科歯科大学 2012年 第2問$a^2+b^2=1$を満たす正の実数$a,\ b$の組$(a,\ b)$の全体を$S$とする．$S$に含まれる$(a,\ b)$に対し，$xyz$空間内に3点P$(a,\ b,\ b)$，Q$(-a,\ b,\ b)$，R$(0,\ 0,\ b)$をとる．また原点をOとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)三角形OPQを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_1$とする．$(a,\ b)$が$S$の中を動くとき，$F_1$の体積の最大値を求めよ．
(2)三角形PQRを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_2$とする．$\displaystyle a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$F_2$の$xy$平面による切り口の周を$xy$平面上に図示せよ．
(3)三角形OPRを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_3$とする．$(a,\ b)$が$S$の中を動くとき，$F_3$の体積の最大値を求めよ．
(1)三角形OPQを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_1$とする．$(a,\ b)$が$S$の中を動くとき，$F_1$の体積の最大値を求めよ．
(2)三角形PQRを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_2$とする．$\displaystyle a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$F_2$の$xy$平面による切り口の周を$xy$平面上に図示せよ．
(3)三角形OPRを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_3$とする．$(a,\ b)$が$S$の中を動くとき，$F_3$の体積の最大値を求めよ．
国立 九州工業大学 2012年 第2問四面体OABCは$\displaystyle \text{OA}=1,\ \text{OB}=\sqrt{15},\ \text{OC}=2,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{AOC}=\frac{\pi}{3}$を満たしている．線分OAとOBを$s:1-s \ (0<s<1)$に内分する点をそれぞれP，Qとし，$\triangle$CPQの重心をGとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c},\ \angle \text{BOC}=\theta \ (0<\theta < \pi)$として，次に答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$は平面ABCに垂直であるとする．
(3)$s$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)線分OGとBCの長さ，および$\angle \text{BAC}$を求めよ．
(5)四面体OABCの体積$V$を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$は平面ABCに垂直であるとする．
(3)$s$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)線分OGとBCの長さ，および$\angle \text{BAC}$を求めよ．
(5)四面体OABCの体積$V$を求めよ．
国立 弘前大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle 2 \sin x > \cos \left( x-\frac{\pi}{6} \right)$を解け．
(2)$\log_3 5=a,\ \log_5 7=b$とするとき，$\log_{105} 175$を$a$と$b$で表せ．
(1)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle 2 \sin x > \cos \left( x-\frac{\pi}{6} \right)$を解け．
(2)$\log_3 5=a,\ \log_5 7=b$とするとき，$\log_{105} 175$を$a$と$b$で表せ．
国立 弘前大学 2012年 第3問関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2x$について次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)実数$a$に対して，$a \leqq x \leqq a+2$のときの$f(x)$の最小値を$g(a)$とおく．関数$b=g(a)$のグラフの概形を$ab$平面上にかけ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)実数$a$に対して，$a \leqq x \leqq a+2$のときの$f(x)$の最小値を$g(a)$とおく．関数$b=g(a)$のグラフの概形を$ab$平面上にかけ．
国立 弘前大学 2012年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x+y=\frac{1}{3}\pi$のとき$\sin x+\sin y$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \sin x+\sin y = \frac{8}{5}$のとき$\sin (x+y)$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)$\displaystyle x+y=\frac{1}{3}\pi$のとき$\sin x+\sin y$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \sin x+\sin y = \frac{8}{5}$のとき$\sin (x+y)$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( e^{\frac{1}{n}} +2e^{\frac{2}{n}} +3e^{\frac{3}{n}}+\cdots + ne^{\frac{n}{n}} \right) \]
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( e^{\frac{1}{n}} +2e^{\frac{2}{n}} +3e^{\frac{3}{n}}+\cdots + ne^{\frac{n}{n}} \right) \]
国立 九州工業大学 2012年 第3問$\alpha>1,\ x>0$とする．Oを原点とする座標平面上に3点A$(0,\ 1)$，B$(0,\ \alpha)$，P$(\sqrt{x},\ 0)$がある．次に答えよ．
(1)$\sin \angle \text{OPB}$と$\sin \angle \text{APB}$を$\alpha$と$x$を用いて表せ．
(2)$\sin \angle \text{APB}$を$x$の関数と考え，その関数を$f(x)$とおく．$f(x)$の最大値を$\alpha$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた最大値が$\displaystyle \frac{1}{2}$となる$\alpha$を求めよ．
(1)$\sin \angle \text{OPB}$と$\sin \angle \text{APB}$を$\alpha$と$x$を用いて表せ．
(2)$\sin \angle \text{APB}$を$x$の関数と考え，その関数を$f(x)$とおく．$f(x)$の最大値を$\alpha$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた最大値が$\displaystyle \frac{1}{2}$となる$\alpha$を求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{6}=\frac{z+3x}{7} \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}$の値を求めよ．
(3)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{6}=\frac{z+3x}{7} \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}$の値を求めよ．
(3)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{6}=\frac{z+3x}{7} \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}$の値を求めよ．
(3)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{6}=\frac{z+3x}{7} \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}$の値を求めよ．
(3)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2012年 第3問関数$f(x)=x^3-x^2+x$について，以下の各問いに答えよ．
(1)$f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．$x>0$について
\[ \sqrt[3]{x}-1 < g(x) < \sqrt[3]{x}+1 \]
が成立することを示せ．
(3)$b>a>0$について
\[ 0<\int_a^b \frac{1}{x^2+1}\, dx<\frac{1}{a} \]
が成立することを示せ．
(4)自然数$n$について，(2)で定義された$g(x)$を用いて
\[ A_n=\int_n^{2n} \frac{1}{\{g(x)\}^3+g(x)} \, dx \]
とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n$を求めよ．
(1)$f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．$x>0$について
\[ \sqrt[3]{x}-1 < g(x) < \sqrt[3]{x}+1 \]
が成立することを示せ．
(3)$b>a>0$について
\[ 0<\int_a^b \frac{1}{x^2+1}\, dx<\frac{1}{a} \]
が成立することを示せ．
(4)自然数$n$について，(2)で定義された$g(x)$を用いて
\[ A_n=\int_n^{2n} \frac{1}{\{g(x)\}^3+g(x)} \, dx \]
とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n$を求めよ．