実数$a$は$a>-1$とする．関数$f(x)=3x^3-7x^2+5x-1$に対し，
\[ -1<c<a,\ \frac{f(a)-f(-1)}{a+1}=f^{\, \prime}(c) \]
となる$c$がちょうど2つ存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x+2} \ (x>-2)$を考える．曲線$C$上の点P$_1 \displaystyle (0,\ \frac{1}{2})$における接線を$\ell_1$とし，$\ell_1$と$x$軸との交点をQ$_1$，点Q$_1$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_2$とおく．以下同様に，自然数$n \ (n \geqq 2)$に対して，点P$_n$における接線を$\ell_n$とし，$\ell_n$と$x$軸との交点をQ$_n$，点Q$_n$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_{n+1}$とおく．

(1)$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)P$_n$の$x$座標を$x_n \ (n \geqq 1)$とする．$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表し，$x_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\ell_n$，$x$軸，$y$軸で囲まれる三角形の面積$S_n$を求め，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

曲線$C:y=\log x \ (x>0)$を考える．自然数$n$に対して，曲線$C$上に点P$(e^n,\ n)$，Q$(e^{2n},\ 2n)$をとり，$x$軸上に点A$(e^n,\ 0)$，B$(e^{2n},\ 0)$をとる．四角形APQBを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(n)$とする．また，線分PQと曲線$C$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$S(n)$とする．

(1)$V(n)$を$n$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S(n)}{V(n)}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$に対し，
\[ x < \tan x\]
となることを示せ．
(2)$x>0$に対し，
\[ \log \left( x+\sqrt{1+x^2} \right) > \sin x \]
となることを示せ．ただし，対数は自然対数である．

以下の問に答えよ．

(1)以下の条件 (ア)，(イ) を満たす正の整数は，小さい順に並べると，等差数列になる．この数列の初項と公差を求めよ．

\mon[(ア)] $13$で割ると余りが$2$となる．
\mon[(イ)] $11$で割ると商が奇数，余りが$3$となる．

(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{CE}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{NEA}$の面積は$\triangle \mathrm{NCM}$の面積の何倍となるか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$を求めよ．

座標平面上の点B$(0,\ 1)$を中心とする半径1の円を$C_0$，$a > 0$とし，点A$(a,\ 0)$を通り$C_0$に接する2直線のうち$x$軸でない方を$\ell$とする．また，$C_0$，$x$軸，$\ell$によって囲まれる領域(境界も含む)の内部にあって，$C_0$，$x$軸，$\ell$に接する円を$C_1$，$C_1$の半径を$r$とする．さらに，$C_0$，$C_1$，$x$軸によって囲まれる領域(境界を含む)の内部にあって，$C_0$，$C_1$，$x$軸に接する円を$C_2$，$C_2$の半径を$s$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)次の問いに答えよ．

\mon[(i)] $r$を$a$で表せ．
\mon[(ii)] $a =\sqrt{3}$のとき，$r$はいくらか．

(2)次の問いに答えよ．

\mon[(i)] $s$を$a$で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle a=\frac{3}{4}$のとき，$s$はいくらか．

(3)極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0}\frac{r}{a^2},\ \lim_{a \to 0}\frac{s}{r}$を求めよ．

媒介変数$t \ (0 < t \leqq \pi)$を用いて
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=\sin t \\
\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2t
\end{array}
\right. \]
と表される$xy$平面上の曲線を$C_1$，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle x=\cos \theta \sin t-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \sin 2t \\　\\
\displaystyle y=\sin \theta \sin t+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \sin 2t
\end{array}
\right. \]
と表される曲線を$C_2$とする．ここで，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$xy$平面上に$C_1$の概形を描け．
(2)直線$y=-\sqrt{3}x+k$が，$C_1$と少なくとも1点を共有するための実数$k$の条件を求めよ．
(3)直線$y=(\tan \theta)x+l$が，$C_2$と少なくとも1点を共有するための実数$l$の条件を求めよ．
(4)$C_1$が囲む領域の面積を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)次の数列の一般項を求めよ．
\[ 1,\ 5,\ 11,\ 19,\ 29,\ 41,\ \cdots \]
(2)$|\overrightarrow{a}|=3,\ |\overrightarrow{b}|=2$で，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${60}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|$を求めよ．
(3)次の数を小さい順に並べよ．
\[ \log_3 5,\ \frac{1}{2}+\log_9 8,\ \log_9 26 \]
(4)次の定積分を求めよ．
\[ \int_0^3 |x^2-x-2| \, dx \]

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+\sin x)\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$を考える．

(1)$f(x)$の増減と極値，および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と，$x$軸および$2$直線$x=0,\ x=\pi$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

実数$a$に対して，関数$\displaystyle f_a(x)=-3x^2+\left(\frac{5}{4}-x \right)\int_0^a f_a(t) \, dt$を満たすとする．

(1)$\displaystyle k=\int_0^a f_a(t) \, dt$とおく．このとき，$k$を$a$の分数式で表せ．
(2)どのような実数$a$に対しても，$2$次方程式$f_a(x)=4x-20$が異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．
(3)(2)の方程式の解がともに正であるような$a$の値の範囲を求めよ．