「分数」について
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国立 横浜国立大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$k$を$0$以上の整数とするとき，
\[ \displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} \leqq k \]
を満たす$0$以上の整数$x,\ y$の組$(x,\ y)$の個数を$a_k$とする．$a_k$を$k$の式で表せ．
(2)$n$を$0$以上の整数とするとき，
\[ \displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + z \leqq k \]
を満たす$0$以上の整数$x,\ y,\ z$の組$(x,\ y,\ z)$の個数を$b_n$とする．$b_n$を$n$の式で表せ．
(1)$k$を$0$以上の整数とするとき，
\[ \displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} \leqq k \]
を満たす$0$以上の整数$x,\ y$の組$(x,\ y)$の個数を$a_k$とする．$a_k$を$k$の式で表せ．
(2)$n$を$0$以上の整数とするとき，
\[ \displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + z \leqq k \]
を満たす$0$以上の整数$x,\ y,\ z$の組$(x,\ y,\ z)$の個数を$b_n$とする．$b_n$を$n$の式で表せ．
国立 横浜国立大学 2012年 第3問$xy$平面上に曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$がある．$C$上の点$\mathrm{P} \displaystyle (t,\ \frac{1}{2}t^2) (t \neq 1)$における接線を，$\mathrm{P}$を中心として反時計回りに$45^\circ$回転して得られる直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．
国立 広島大学 2012年 第2問放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{A}$の$x$座標は$3$である．点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$における$C$の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とおくと，$\angle \mathrm{APB} = 45^\circ$であった．次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$m$の傾きを求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)$C,\ \ell,\ m$で囲まれた図形において，不等式$x \geqq 0$を満たす部分の面積$S$を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$m$の傾きを求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)$C,\ \ell,\ m$で囲まれた図形において，不等式$x \geqq 0$を満たす部分の面積$S$を求めよ．
国立 信州大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とするとき，$4^{2n-1}+3^{n+1}$は13の倍数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{5-\sqrt{19}}$の整数部分を$\alpha$，小数部分を$\beta$とするとき$\alpha,\ \beta$を求めよ．また$\alpha^2-18 \beta^2$を求めよ．
(1)$n$を自然数とするとき，$4^{2n-1}+3^{n+1}$は13の倍数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{5-\sqrt{19}}$の整数部分を$\alpha$，小数部分を$\beta$とするとき$\alpha,\ \beta$を求めよ．また$\alpha^2-18 \beta^2$を求めよ．
国立 埼玉大学 2012年 第4問$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，
\[ I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2n} x\, dx \]
とおく．
(1)$I_n+I_{n+1}$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$を示せ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1}$を求めよ．
\[ I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2n} x\, dx \]
とおく．
(1)$I_n+I_{n+1}$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$を示せ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1}$を求めよ．
国立 筑波大学 2012年 第1問$x$の方程式$|\log_{10|x}=px+q \ (p,\ q \text{は実数})$が$3$つの相異なる正の解をもち，次の$2$つの条件を満たすとする．
\begin{itemize}
$3$つの解の比は，$1:2:3$である．
$3$つの解のうち最小のものは，$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きく，$1$より小さい．
\end{itemize}
このとき，$A=\log_{10}2,\ B=\log_{10}3$とおき，$p$と$q$を$A$と$B$を用いて表せ．
\begin{itemize}
$3$つの解の比は，$1:2:3$である．
$3$つの解のうち最小のものは，$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きく，$1$より小さい．
\end{itemize}
このとき，$A=\log_{10}2,\ B=\log_{10}3$とおき，$p$と$q$を$A$と$B$を用いて表せ．
国立 神戸大学 2012年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)正の実数$x,\ y$に対して
\[ \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \geqq 2 \]
が成り立つことを示し，等号が成立するための条件を求めよ．
(2)$n$を自然数とする．$n$個の正の実数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ (a_1 +\cdots+a_n) \left( \frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n} \right) \geqq n^2 \]
が成り立つことを示し，等号が成立するための条件を求めよ．
(1)正の実数$x,\ y$に対して
\[ \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \geqq 2 \]
が成り立つことを示し，等号が成立するための条件を求めよ．
(2)$n$を自然数とする．$n$個の正の実数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ (a_1 +\cdots+a_n) \left( \frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n} \right) \geqq n^2 \]
が成り立つことを示し，等号が成立するための条件を求めよ．
国立 神戸大学 2012年 第4問自然対数の底を$e$とする．以下の問に答えよ．
(1)$e<3$であることを用いて，不等式$\displaystyle \log 2 > \frac{3}{5}$が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x}-x$の導関数を求めよ．
(3)積分
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x} \, dx \]
の値を求めよ．
(4)(3)で求めた値が正であるか負であるかを判定せよ．
(1)$e<3$であることを用いて，不等式$\displaystyle \log 2 > \frac{3}{5}$が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x}-x$の導関数を求めよ．
(3)積分
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x} \, dx \]
の値を求めよ．
(4)(3)で求めた値が正であるか負であるかを判定せよ．
国立 静岡大学 2012年 第4問$a_1$を$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_1 < \frac{\pi}{4}$を満たす数とし，$\{a_n\}$を
\[ a_{n+1} = 1-\sin \;a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$y=1-x$と曲線$y=\sin x$は，$\displaystyle \frac{\pi}{12} < x < \frac{\pi}{4}$の範囲でただ1つの交点をもつことを示せ．
(2)$n$を自然数とするとき，不等式$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_n < \frac{\pi}{4}$を示せ．
(3)(1)の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$が成り立つことを示せ．
\[ a_{n+1} = 1-\sin \;a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$y=1-x$と曲線$y=\sin x$は，$\displaystyle \frac{\pi}{12} < x < \frac{\pi}{4}$の範囲でただ1つの交点をもつことを示せ．
(2)$n$を自然数とするとき，不等式$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_n < \frac{\pi}{4}$を示せ．
(3)(1)の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$が成り立つことを示せ．
国立 金沢大学 2012年 第3問$\log_{10}2 = 0.3010,\ \log_{10}3 = 0.4771$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \log_{10} \left(\frac{2}{3}\right),\ \log_{10} \left( \frac{1}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^m \geqq \frac{1}{10},\ \left( \frac{1}{2} \right)^n \geqq \frac{1}{10}$を満たす最大の自然数$m,\ n$を求めよ．
(3)連立不等式$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^x \left( \frac{1}{2} \right)^y \geqq \frac{1}{10},\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を座標平面に図示せよ．
(4)$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^m \left( \frac{1}{2} \right)^n \geqq \frac{1}{10}$を満たす自然数$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(1)$\displaystyle \log_{10} \left(\frac{2}{3}\right),\ \log_{10} \left( \frac{1}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^m \geqq \frac{1}{10},\ \left( \frac{1}{2} \right)^n \geqq \frac{1}{10}$を満たす最大の自然数$m,\ n$を求めよ．
(3)連立不等式$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^x \left( \frac{1}{2} \right)^y \geqq \frac{1}{10},\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を座標平面に図示せよ．
(4)$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^m \left( \frac{1}{2} \right)^n \geqq \frac{1}{10}$を満たす自然数$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．