$p,\ q$を互いに素な$2$以上の整数，$m,\ n$は$m < n$なる正の整数とする．このとき，分母が$p^2q^2$で，分子が$p$でも$q$でも割り切れない分数のうち，$m$よりも大きく$n$よりも小さいものの総数を求めよ．

100人の団体がある区間を列車で移動する．このとき，乗車券が7枚入った480円のセットAと，乗車券が3枚入った220円のセットBを購入して，利用することにした．以下の問いに答えよ．

(1)$x$が0以上の整数であるとき，次のことを示せ．\\
\quad $\displaystyle \frac{1}{3} (100-7x)$は，$x$を3で割ったときの余りが1の場合に整数であり，\\
\quad それ以外の場合は整数ではない．
(2)購入した乗車券は，余らせずすべて利用するものとする．このとき，セットAとセットBの購入の仕方をすべて挙げよ．
(3)購入した乗車券は余ってもよいものとする．このとき，Aのみ，あるいはBのみを購入する場合も含めて，購入金額が最も低くなるのは，A，Bをそれぞれ何
セットずつ購入するときか．またそのときの購入金額はいくらか．

$0 \leqq x \leqq \pi$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos |t-x|}{1+\sin |t-x|} \, dt\]
と定める．$f(x)$の$0 \leqq x \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円周$C$上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とは一致していないとする．線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \angle \mathrm{BPQ} = \frac{\pi}{3}$となるようにとり，線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$y$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$y$を$x$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を除いた円周$C$上を動くとき，$y$が最大となる$x$を求めよ．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$について，以下の問に答えよ．
\[ a_1 = \frac{1}{2}, \quad a_{n+1} = \frac{8a_n-1}{25a_n-2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)(1)の結果に基づいて，一般項$a_n$を推測せよ．また，その推測が正しいことを証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2+\sin x}{1+\cos x}\, dx$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2-3x}$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸，変曲点は調べなくてよい．

次の問いに答えよ．

(1)$k$を$0$以上の整数とするとき，
\[ \displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} \leqq k \]
を満たす$0$以上の整数$x,\ y$の組$(x,\ y)$の個数を$a_k$とする．$a_k$を$k$の式で表せ．
(2)$n$を$0$以上の整数とするとき，
\[ \displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + z \leqq k \]
を満たす$0$以上の整数$x,\ y,\ z$の組$(x,\ y,\ z)$の個数を$b_n$とする．$b_n$を$n$の式で表せ．

平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| =1,\quad \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-\frac{1}{2} \]
を満たすとする．ただし，記号$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$はベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を表す．以下の問いに答えよ．

(1)実数$p,\ q$に対して，$\overrightarrow{c} = p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の条件
\[ |\overrightarrow{c}|=1,\quad \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0,\quad p>0 \]
を満たす実数$p,\ q$を求めよ．
(2)平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$が
\[ -1 \leqq \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{x} \leqq 1 , \quad 1 \leqq \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{x} \leqq 2 \]
を満たすとき，$|\overrightarrow{x}|$のとりうる値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不定積分
\[ \int x^2\cos (a\log x) \, dx \]
を求めよ．ただし，$a$は0でない定数とする．
(2)曲線$y=x\cos (\log x)$と$x$軸，および$2$直線$\displaystyle x=1,\ x=e^{\frac{\pi}{4}}$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$\alpha,\ \beta,\ \gamma$で表す．点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$はそれぞれ辺$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$上にあり，$\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB},\ \mathrm{EF} \perp \mathrm{BC},\ \mathrm{FD} \perp \mathrm{CA}$を満たす．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$は相似であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}= \frac{1}{\tan \alpha}+\frac{1}{\tan \beta}+\frac{1}{\tan \gamma}$を示せ．
(3)$\alpha$が一定のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}$を最小にするような$\beta,\ \gamma$を$\alpha$で表せ．