原点を$\mathrm{O}$とする座標平面で，関数$y=\sqrt{x^2-1} (x \geqq 1)$のグラフを$C$とする．また，$t>1$を満たす実数$t$に対し，直線$x+y=t$と$C$との交点を$\mathrm{P}$，直線$x+y=t$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さ$f(t)$を求めなさい．
(2)次の極限値を求めなさい．
\[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n f \left( 1+\frac{k(t-1)}{n} \right) \frac{t-1}{\sqrt{2}n} \]
(3)線分$\mathrm{OP}$，$x$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$S$を用いて点$\mathrm{P}$の座標を表しなさい．

次の式で定められる数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えよ．
\[ a_1=5,\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{8}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)すべての自然数$n$に対して$a_n>4$が成り立つことを示せ．
(2)すべての自然数$n$に対して$a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示せ．
(3)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle a_n-4 \leqq \frac{1}{2^{n-1}}$が成り立つことを示せ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(0,\ -1)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．$C$上に点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$をとる．点$\mathrm{R}$を$C$上の点で$\angle \mathrm{QPR}=120^\circ$をみたし，$\mathrm{R}$の$x$座標は負であるようにとる．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$を両端として，中心角が$120^\circ$である$C$の弧を$A$とする．さらに，$a$を実数の定数として，直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+a$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$A$と$\ell$の共有点の個数を求めよ．
(3)$A$と$\ell$が相異なる$2$つの共有点をもつとき，$A$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最大になるときの$a$の値と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．

$a,\ b$は実数の定数で$|a|<|b|$をみたすとする．行列$A$を
\[ A=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc}
a+2b & -2a+2b \\
-a+b & 2a+b
\end{array} \right) \]
によって定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$x_0 \left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)+y_0 \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
13
\end{array} \right)$をみたす$x_0,\ y_0$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right),\ A \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right)$を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$x_n \left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)+y_n \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
13
\end{array} \right)$をみたす$x_n,\ y_n$を$a,\ b,\ n$を用いて表せ．
(4)数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$を$\left( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
13
\end{array} \right)$によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ．

$2$次関数$\displaystyle y=\sqrt{2}x^2-\frac{\sqrt{2}}{4}$のグラフを$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)相異なる実数$s,\ t$に対し，$C$上の点$\displaystyle \left( s,\ \sqrt{2}s^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$，$\displaystyle \left( t,\ \sqrt{2}t^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$における$C$の法線をそれぞれ$\ell_s,\ \ell_t$で表す．$\ell_s$と$\ell_t$の交点の座標を求めよ．ただし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と垂直に交わる直線のことである．
(2)$t$を固定して$s$を$t$に近づけるとき，(1)で求めた交点の$x$座標と$y$座標が近づく値をそれぞれ$f(t)$，$g(t)$で表す．このとき，$f(t)$，$g(t)$を求めよ．
(3)(2)で求めた$f(t)$，$g(t)$を，実数全体で定義された$t$の関数とみなして，
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \]
によって媒介変数表示される曲線を$D$とする．このとき，$C$と$D$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_{-2}^1 x \sqrt{x+3} \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \, dx=[ロ]$

(2)$2$つの放物線$y=4x^2$と$y=(x-1)^2$で囲まれた部分の面積は$[ハ]$である．
(3)$\sqrt{-2} \, \sqrt{-3}=[ニ]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[ホ]$である．
(5)$0 \leqq x \leqq \pi$において$\displaystyle \sin 2x-\frac{1}{2}=\sin x-\cos x$のとき，$x=[ヘ]$である．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を重複なく用いて作られる$5$桁の整数を小さい順に並べる．初めて$20000$以上になる整数は$[ト]$で，それは$[チ]$番目である．

$n$を自然数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & 3
\end{array} \right)$について，次の手順で$A^n$を求める．このとき，以下の空欄をうめよ．


(1)行列$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
a & b
\end{array} \right)$が$P^{-1} \left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
0 & 2
\end{array} \right) P=A$を満たすとき，$a=[イ]$，$b=[ロ]$である．

(2)$\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
0 & 2
\end{array} \right)^n=\left( \begin{array}{cc}
x_n & \displaystyle\frac{n}{2}x_n \\
0 & x_n
\end{array} \right)$と表せる．このとき，$x_n=[ハ]$である．

(3)$A^n=[ニ]$である．

$n$を自然数とするとき，次の等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \]

$0^\circ<\theta<180^\circ$で，$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$であるとき，以下の各問いに答えよ．

(1)$\sin \theta-\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$\tan \theta$の値を求めよ．

実数$x$についての次の不等式を解け．
\[ \left( 1+\frac{x}{2} \right)^2<\left( 1+\frac{x}{3} \right)^3 \]