$f(x)=4x^2+2x+4$，$g(x)=x^2-x+1$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して$f(x)>0$，$g(x)>0$が成り立つことを示せ．
(2)不等式
\[ \log_a \frac{f(x)}{g(x)}<\log_a (2a+1) \]
がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．ただし$a>0$，$a \neq 1$とする．

$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=5$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{5}{2}$である三角形$\mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

座標平面の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲において，$2$つの曲線$y=\cos x$と$y=\sin 2x$の交点の座標を$(a,\ b)$とし，$2$つの曲線$y=\cos x$と$y=\tan x$の交点の座標を$(c,\ d)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$および$d^2$の値を求めよ．
(2)$c>a$であることを示せ．
(3)連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4},\quad \cos x \leqq y \leqq \sin 2x,\quad y \geqq \tan x \]
の表す領域を図示し，その領域の面積を求めよ．

$a>1$を満たす定数$a$に対し，座標が$(a,\ a)$である点を$\mathrm{A}$とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$のグラフ上を動く点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{t} \right)$をとり，$t>0$で定義された関数$f(t)$を，長さ$\mathrm{AP}$を用いて$f(t)=\mathrm{AP}^2$で定める．次の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$f^\prime(t)=0$となる$t (t>0)$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AP}$が最小になるような点$\mathrm{P}$の座標と，$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．

$a,\ b$は$a<b$を満たす実数とする．正の整数$n$に対し，座標平面上の$(2^n+1)$個の点
\[ \mathrm{P}_k \left( a+\frac{k(b-a)}{2^n},\ \left\{ a+\frac{k(b-a)}{2^n} \right\}^2 \right) \quad \left( k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2^n \right) \]
を考える．$X_n$を$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{2^n}$，$\mathrm{P}_0$をこの順に結んで得られる$(2^n+1)$角形とし，$X_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$S_1$を求めなさい．
(2)$S_2-S_1$，$S_3-S_2$を求めなさい．
(3)$S_n$を求めなさい．

関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$を

$f_1(x)=x,$
$\displaystyle f_n(x)=x+\frac{e}{2}\int_0^1 f_{n-1}(t)e^{x-t} \, dt \quad (n=2,\ 3,\ \cdots)$

によって定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f_2(x)$を求めよ．

(2)$a_n=\int_0^1 f_n(t)e^{-t} \, dt$とおく．$n \geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$で表せ．

(3)$f_n(x)$を求めよ．

$g(x)=\sin^3 x$とおき，$0<\theta<\pi$とする．$x$の$2$次関数$y=h(x)$のグラフは原点を頂点とし，$h(\theta)=g(\theta)$を満たすとする．このとき，曲線$y=g(x) (0 \leqq x \leqq \theta)$と直線$x=\theta$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$G(\theta)$とおく．また，曲線$y=h(x)$と直線$x=\theta$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$H(\theta)$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$H(\theta)$を求めよ．

(2)$\displaystyle G(\theta)=\frac{1}{3}(1-\cos \theta)^2(2+\cos \theta)$を証明せよ．

(3)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{G(\theta)}{H(\theta)}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)頂点間の距離が$24$であり，焦点が$(20,\ 0)$と$(-20,\ 0)$である双曲線の方程式を求めよ．
(2)初項を$a_1=4$とする数列$\{a_n\}$と初項を$b_1=1$とする数列$\{b_n\}$に対して，$c_n=\sqrt{a_nb_n}$，$\displaystyle d_n=\sqrt{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}$とおく．ただし，$a_n>0$，$b_n>0$とする．数列$\{c_n\}$が公差$2$の等差数列となり，数列$\{d_n\}$が公比$3$の等比数列となるとき，$a_5$と$b_5$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)=Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F$が
\[ f(-x)=-f(x),\quad \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x^3}=6,\quad \int_0^1 f(x) \, dx=\frac{1}{2} \]
をみたすとき，定数$A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$の値を求めよ．

曲線$y=\sin x$上の点$\mathrm{P}(\theta,\ \sin \theta)$における曲線の接線$\ell_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{K}$とする．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸へ下した垂線$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

(1)接線$\ell_1$を$y=Ax+B$とおくとき，$A$と$B$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{PKH}$の面積$S$を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)$S=1$となる$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．また，曲線$y=\sin x$と二つの線分$\mathrm{OH}$，$\mathrm{PH}$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$S:T=3:2$となる$\theta$の値を求めよ．

$\displaystyle y=x^2-4x+5+\frac{1}{x^2-4x+5}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle \frac{3}{2} \leqq x \leqq 3$とする．

(1)$y$の最大値$M$と最小値$m$の値を求めよ．
(2)$t=x^2-4x+5$とおくとき，$\displaystyle z=t^3-6t^2+12t-12+\frac{12}{t}-\frac{6}{t^2}+\frac{1}{t^3}$を$y$を用いて表せ．
(3)$z$の最大値$N$と最小値$n$の値を求めよ．
(4)$K(\log_{64}M+\log_{64}m-\log_{64}N-\log_{64}n)=1$をみたす自然数$K$の値を求めよ．