次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$10$項までの和が$-8$，初項から第$21$項までの和が$14$である．この数列の初項$a_1$は$[ア]$で，公差は$[イ]$である．
(2)$2 \log_3 4+\log_9 5-\log_3 8=\log_3 x$の解は$x=[ウ]$である．

(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$のとき，$x^3+y^3$の値は$[エ]$である．

(4)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$となる自然数の組$(x,\ y)$で$x \geqq y$を満たすものをすべてあげると$(x,\ y)=[オ]$である．
(5)正の数$k$と角$\theta$に対して，$\sin \theta,\ \cos \theta$が$2$次方程式$5x^2-kx+2=0$の解となるような$k$の値は$[カ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{\sqrt{2}}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{1+\sqrt{3}}$であるとき，$\cos C$の値は$[キ]$である．
(7)整式$P(x)$を$2x^2+9x-5$で割ると余りが$3x+5$であり，$x-2$で割ると余りが$-3$であるとき，$P(x)$を$x^2+3x-10$で割ると，余りは$[ク]$である．
(8)座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(-1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{D}(x,\ y,\ z)$がある．これら$4$点が同一平面上にあり，かつこれらを頂点とする四角形がひし形であるのは，$(x,\ y,\ z)=[ケ]$のときである．

次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)不等式$x |x+2|<2x$の解は$[ア]$である．

(2)$a$を実数とする．$\displaystyle \frac{3+i}{1+ai}$の実部と虚部の和が$0$であるとき，$a=[イ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)座標平面上の点$(2,\ 1)$から円$x^2+y^2=1$へ引いた接線の方程式は$y=1$と$y=[ウ]$である．
(4)${128}^{\frac{1}{6}},\ 8^{\frac{2}{5}},\ {81}^{\frac{1}{5}}$のうち最大のものは$[エ]$である．
(5)$\cos {165}^\circ$の値は$[オ]$である．
(6)平面上に三角形$\mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[カ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[キ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(7)数列$\{a_k\}$は$a_1=0$と漸化式$a_{k+1}=2a_k+1 (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \log_8 (1+a_k)=[ク]$である．
(8)数字の$1$が書かれたカードが$1$枚，数字の$2$が書かれたカードが$2$枚，数字の$3$が書かれたカードが$3$枚ある．この$6$枚のカード全部を$1$列に並べるとき，数字の$2$が書かれたカードが連続して並ぶ確率は$[ケ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さは$[ア]$である．
(2)$\tan {75}^\circ$の値は$[イ]$である．
(3)$5^x-5^{-x}=6$のとき，$5^x+5^{-x}=[ウ]$である．

(4)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{81}}=[エ]$である．

(5)$4$次方程式$2x^4-5x^2-3=0$の解は$x=[オ],\ [カ],\ [キ],\ [ク]$である．
(6)$2$点$\mathrm{A}(-6,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-4,\ 2,\ 7)$からの距離が等しい点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$のうち，$x,\ y,\ z$がすべて正の整数となるのは$(x,\ y,\ z)=[ケ]$である．
(7)不等式$\sqrt{|x-3|}<5$を満たす$x$の範囲は，$[コ]$である．
(8)正六角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[サ]$である．

以下の各問で，$[　]$にあてはまる数値または記号を求めよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx+c$が$3$点$(-3,\ -15)$，$(0,\ -24)$，$(3,\ 21)$を通るとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=-[ウ][エ] \]
であり，この放物線と$x$軸との交点は$(-[オ],\ 0)$，$([カ],\ 0)$である．
(2)点$\mathrm{O}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心とする．$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{ABO}={35}^\circ$のとき，
\[ \angle \mathrm{ACO}={[キ][ク]}^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}={[ケ][コ][サ]}^\circ \]
である．
(3)関数$\displaystyle y=\frac{1}{3} {\left( \frac{1}{8} \right)}^x-2 {\left( \frac{1}{4} \right)}^x+3 {\left( \frac{1}{2} \right)}^x+1 (x>-2)$は


$x=[シ]$で最大値$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$


をとり，

$x=-\log_2 [ソ]$で最小値$[タ]$

をとる．
(4)条件$a_1=0$，$\displaystyle a_n=a_{n-1}+\frac{n-1}{2013} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$において，$a_n \geqq 1$を満たす最小の$n$は$[チ][ツ]$であり，
\[ a_{[チ][ツ]}=\frac{[テ][ト][ナ]}{[ニ][ヌ][ネ]} \]
である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)数列$\{a_n\}$が関係式
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n}{(3n+1)a_n+n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，$\displaystyle a_{200}=\frac{[ア]}{[イウエ]}$である．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$かつ$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{8}$のとき，$\displaystyle \sin \frac{3 \theta}{2}=\frac{[オ] \sqrt{[カ]}}{[キク]}$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)座標平面上の放物線$C:y=a(x-b)^2$（$a,\ b$は正の定数）が点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{5},\ \frac{3}{5} \right)$を通り，点$\mathrm{A}$における$C$の法線が原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るとき，$\displaystyle a=\frac{[アイ]}{[ウエ]}$，$\displaystyle b=\frac{[オカ]}{[キク]}$である．
(2)不等式
\[ \log (n+9)-\log (n+8)<\frac{1}{100} \]
をみたす最小の正の整数$n$の値は$n=[ケコ]$である．ただし，対数は自然対数とする．

座標平面上の楕円$\displaystyle C:\frac{(x-a)^2}{b}+\frac{(y-c)^2}{2}=1$（$a,\ b,\ c$は正の定数）は$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$を通るとする．

(1)定数$a,\ b,\ c$は$a=[ア]$，$b=[イ]$，$c=[ウ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$が楕円$C$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$の最大値を$M$とすれば$\displaystyle M=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1+4x}{1+\sqrt{x}} (x \geqq 0)$を考える．

(1)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ア]}{[イ]}-\sqrt{[ウ]}$のとき最小値$[エ] \sqrt{[オ]}-[カ]$をとる．
(2)座標平面上の曲線$C:y=f(x) (x \geqq 0)$と$x$軸，$y$軸および直線$x=1$とで囲まれた部分の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[キク]}{[ケ]}-[コサ] \log 2 \]
である．ただし，対数は自然対数とする．

次の数を小さい方から順に並べよ．
\[ \frac{3}{2},\quad \log_2 0.7,\quad \log_2 3,\quad \log_3 2 \]

次の各問いに答えなさい．

(1)$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解しなさい．
(2)$\perm{n}{r}=[　] \times \perm{n-1}{r-1}$が成り立つとき，$[　]$にあてはまる文字を求めなさい．
(3)$a_1=5,\ a_{n+1}=3a_n-2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．
(4)$\displaystyle y=x+\frac{7}{x+2} (x>0)$の最小値を求めなさい．
(5)$a>0,\ a \neq 1,\ xyz \neq 0$とする．$2^x=3^y=a^z$と$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$が成り立つとき，$a$の値を求めなさい．