$0<t<3$とする．曲線$C:y=f(x)=|x^2-3x|+x-3$と曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線$\ell$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和は，$\displaystyle t=\frac{[タ]}{[チ]}$のとき最小となり，その値は$[ツ] \sqrt{[テ]}+[ト]$である．

座標平面上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 6)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( -\frac{6}{5},\ 0 \right)$，$\mathrm{C}(6,\ 0)$とする．$2$つの半直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$と接する$2$次曲線を
\[ y=ax^2+bx+c \]
とし，$a$を$c$で表すと，$a=[ク]$である．

この$2$次曲線のうち点$(4,\ 1)$を通る曲線は$2$つある．このうち$y$切片の小さい方の$2$次曲線は
\[ y=[ケ]x^2+[コ]x-[サ] \]
であり，この曲線と$x$軸で囲まれる部分の面積は$[シ]$である．

面積$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．正の実数$t$に対し，線分$\mathrm{AM}$を$1:t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，さらに直線$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{CP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．次の設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{QC}}{\mathrm{AQ}}$を$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{MQR}$の面積が最大となる$t$の値と，そのときの面積を求めよ．

放物線$C:y^2=4px (p>0)$の焦点$\mathrm{F}(p,\ 0)$を通る$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$は互いに直交し，$C$と$\ell_1$は$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$で，$C$と$\ell_2$は$2$点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$で交わるとする．次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$の方程式を$x=ay+p$と置き，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の座標をそれぞれ$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$とする．$y_1+y_2$，$y_1y_2$を$a$と$p$で表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2}+\frac{1}{\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2}$は$\ell_1$，$\ell_2$のとり方によらず一定であることを示せ．

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+2e^x+x$とする．次の問に答えよ．

(1)実数$t$に対して$g(x)=tx-f(x)$とおく．$x$が実数全体を動くとき，$g(x)$が最大値をもつような$t$の範囲を求めよ．また$t$がその範囲にあるとき，$g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた最大値を$m(t)$とする．$a$を定数とし，$t$の関数$h(t)=at-m(t)$を考える．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$h(t)$の最大値を求めよ．

$a,\ b$を正の定数とする．

(1)$\displaystyle \int_0^{2\pi} |a \sin x+b \cos x| \, dx$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \int_{\frac{2(k-1) \pi}{n}}^{\frac{2k \pi}{n}} \left( \log \frac{k}{n} \right) |a \sin nx+b \cos nx| \, dx$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)${13}^{13}$を$144$で割ったときの余りは$[ア]$である．
(2)空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$としたとき，点$\mathrm{C}$との距離が最小となる$\ell$上の点の座標は
\[ \left( \frac{[ウ]}{[イ]},\ \frac{[エ]}{[イ]},\ \frac{[オ]}{[イ]} \right) \]
である．

直線$x+y=1$に接する楕円
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>0,\ b>0) \]
を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．

$\displaystyle a^2=\frac{[ヌ]}{[ニ]},\ b^2=\frac{[ネ]}{[ニ]}$のとき，$V$は最大値$\displaystyle \frac{[ハ] \sqrt{3} \pi}{[ノ]}$をとる．

次のような群にわかれた数列がある．
\[ (1),\ (2,\ 4),\ (5,\ 7,\ 9),\ (10,\ 12,\ 14,\ 16),\ \cdots \]
（第$2$群の初項は第$1$群の末項に$1$を加えたものとし，第$3$群の初項は第$2$群の末項に$1$を加えたものとする．以下同様に第$n$群の初項は第$n-1$群の末項に$1$を加えたものとする．第$n$群は公差$2$，項数$n$の等差数列である．）

このとき次の問に答えよ．

(1)第$n$群に含まれる項の総和は$[カ]n^3+[キ]n^2+[ク]n$である．
(2)第$1$群から第$n$群に含まれるすべての項の総和は
\[ \frac{1}{[ケ]} \left( [コ]n^4+[サ]n^3+[シ]n^2+[ス]n \right) \]
である．

$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，図のように$\mathrm{AW}=\mathrm{BX}=\mathrm{CY}=\mathrm{DZ}$となる点$\mathrm{W}$，$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$をとる．四角形$\mathrm{WXYZ}$に内接する円を$C_0$とし，$\triangle \mathrm{AWZ}$，$\triangle \mathrm{BXW}$，$\triangle \mathrm{CYX}$，$\triangle \mathrm{DZY}$に内接する円をそれぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$とする．$\mathrm{AW}=x$，$\mathrm{ZW}=a$とおくとき
\[ a^2=[セ]x^2+[ソ]x+1 \quad (0<x<1) \]
となる．円$C_0$，$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$の面積の総和を$S$とすると
\[ S=\frac{\pi}{4} \left( [タ]a^2+[チ]a+[ツ] \right) \]
となり，$\displaystyle a=\frac{[ト]}{[テ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle \frac{\pi}{[ナ]}$をとる．
（図は省略）