不等式
\[ (\log_3 x)^2+3 \log_x 81<13 \]
の解は
\[ \frac{[ア]}{[イ][ウ]}<x<[エ],\quad [オ]<x<[カ][キ] \]
である．

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{L}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{LMN}$が直角になるように点$\mathrm{N}$をとる．


(1)$\displaystyle \mathrm{BN}=\frac{[ク]}{[ケ][コ]}$である．

(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{MNB}=\frac{\sqrt{[サ][シ]}}{[ス][セ]}$である．

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{2}$を満たす直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$について，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AB}$と平行で点$\mathrm{D}$を通る直線を$\ell$とする．$\mathrm{AD}=t$とし，$\displaystyle 0<t \leqq \frac{1}{2}$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$を直線$\ell$のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする．

(1)$V(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くとき，$V(t)$の最小値を求めよ．

$a$を正の定数とし，関数 \makebox{$y=a \cos x$} \ $\displaystyle \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_1$，関数 \makebox{$y=\sin x$} \ $\displaystyle \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\theta$とするとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形が，$C_2$によって面積の等しい$2$つの部分に分かれるとする．このとき，$a$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)${13}^{13}$を$144$で割ったときの余りは$[ア]$である．
(2)空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$としたとき，点$\mathrm{C}$との距離が最小となる$\ell$上の点の座標は
\[ \left( \frac{[ウ]}{[イ]},\ \frac{[エ]}{[イ]},\ \frac{[オ]}{[イ]} \right) \]
である．

三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=6$，$\mathrm{AB}=7$であり，点$\mathrm{P}$は
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}-15 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+4 \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たす点とする．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=[ニ] \overrightarrow{\mathrm{OQ}},\quad \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{[ネ]}{[ヌ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \]
である．このとき三角形$\mathrm{OAP}$の面積は$\displaystyle \frac{[ノ] \sqrt{[ハ]}}{2}$である．

関数$\displaystyle f(x)=\left( {27}^x+\frac{1}{{27}^x} \right)-5 \left( 9^x+\frac{1}{9^x} \right)-5 \left( 3^x+\frac{1}{3^x} \right)+1$について次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle t=3^x+\frac{1}{3^x}$とおくとき，$t$の最小値は$[ヒ]$である．
(2)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\log_3 \left( [フ] \pm \sqrt{[ヘ]} \right)$のとき，最小値$[ホ]$をとる．

次の問に答えよ．

(1)$2$つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和が$n$である確率を$P_n$とする．自然数$n (2 \leqq n \leqq 12)$に対して
\[ P_n=\frac{[ア]-|n-[イ]|}{[ウ]} \]
である．
(2)整数$p,\ q$に対して，多項式
\[ f(x)=2x^4+(p+2q)x^3+(pq+4)x^2+(2p+2)x+p \]
を考える．$f(0)$，$f(1)$，$f(2)$がすべて素数のとき，$p=[エ]$，$q=[オ]$である．

あるスポーツの試合において，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが対戦し，先に$3$回勝った方が優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p$，$\mathrm{B}$が勝つ確率を$1-p$とする．

(1)$\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときに，ちょうど$4$試合目で優勝チームが決まる確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．

(2)ちょうど$N$試合目で優勝チームが決まるとする．このとき，$0 \leqq p \leqq 1$の範囲で$N$の期待値の最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．

実数$a,\ b,\ c$に対して，$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$とする．関数$f(x)$は$f(\alpha)=f(\beta)=0 (\alpha \neq \beta)$を満たす．また，この関数は$x=\alpha$で極小値$0$をとり，$x=\gamma$で極大となる．このとき，
\[ \gamma=\frac{[コ] \alpha+[サ] \beta}{[シ]} \]
である．さらに，$\beta=4 \alpha$のとき，極大値と極小値の差が$32$であるとすると，
\[ a=[ス],\quad b=[セ],\quad c=[ソ] \]
である．