関数$f(x)=|x^2-2x-3|$と，曲線$C:y=f(x)$，直線$\ell:y=x+1$について考える．

(1)曲線$C$と$x$軸との交点の$x$座標は，小さい順に$[アイ]$，$[ウ]$である．
(2)関数$f(x)$の$-2 \leqq x \leqq 2$における最大値は$[エ]$であり，最小値は$[オ]$である．
(3)曲線$C$と$x$軸により囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}$である．

(4)曲線$C$と直線$\ell$との交点の$x$座標は，小さい順に$[ケコ]$，$[サ]$，$[シ]$である．

(5)曲線$C$と直線$\ell$により囲まれた$2$つの部分の面積の和は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソ]}$である．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+1$について，以下の問に答えなさい．ただし$a,\ b$は実数の定数とする．

(1)$3f(x)-xf^\prime(x)=2x+3$がすべての$x$の値について成り立つとき，$a=[ホ]$，$b=[マ]$である．

(2)$f(x)$が$2x^2-x-1$で割り切れるとき，$\displaystyle a=\frac{[ミ]}{[ム]}$，$\displaystyle b=\frac{[メ]}{[モ]}$である．

(3)$f(x)=0$の$1$つの解が$x=1+2i$であるとき$\displaystyle a=\frac{[ヤ]}{[ユ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ヨ][ラ]}{[リ]}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

$2$つの放物線$C_1:y=x^2-2x-a$と$C_2:y=-x^2-2x+a$について，次の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の$2$つの共有点を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle S=\frac{9}{2}$となるとき，$a$の値を定めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{3x+a}{x^2+1}$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)$f(x)$が$x=3$で極値をとるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a$を$(2)$で求めた値とするとき，$f(x)$の増減を調べて，極値をすべて求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において定義された$2$つの曲線
\[ y=a \sin 2x,\quad y=\sin 4x \]
について次の問いに答えなさい．ただし，$a$は定数である．

(1)$2$つの曲線が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$で交点を持つように$a$の値の範囲を定めなさい．
(2)$a$が$(1)$で定められた範囲にあるとき，$2$つの曲線によって囲まれた図形は$(1)$の交点を境にして$2$つの部分に分けられる．それらのうち原点を含む部分の面積を$S_1$，原点を含まない部分の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=4:1$となるように$a$の値を定めなさい．

$b$を$b>1$となる定数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$の座標は${x_0}^2+{y_0}^2=b$，${x_0}^2 \geqq 1$を満たすとする．このとき，点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{x_0}{\sqrt{3}},\ x_0{y_0}^2 \right)$に対し，次の問いに答えなさい．

(1)${x_0}^2=t$とおくとき，線分$\mathrm{OQ}$の長さの$2$乗$\mathrm{OQ}^2$を$t$の関数として表しなさい．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを最大にする${x_0}^2$を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$において，$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$|\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}|=7$とする．このとき，$|2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle 2 \cos^2 (x+\pi)+\sin \left( x+\frac{\pi}{2} \right)-1=0$を解け．ただし，$0 \leqq x<2\pi$とする．
(3)$\displaystyle \frac{7}{2},\ \log_2 11,\ \frac{3}{2} \log_25$を小さい順に並べよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=1+\sqrt{6}$，$\mathrm{CA}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{C}=\frac{\pi}{3}$とする．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$を求めよ．

$2$次不等式$x^2-2ax \leqq x$において，定数$a$は$\displaystyle a<-\frac{1}{2}$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)この$2$次不等式を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲において，関数$f(x)=x^2-4ax$の最小値が$-11$であるとき，定数$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x$についての不等式$\displaystyle \frac{2x-a}{3}<\frac{x-3}{2}$をみたす最大の整数が$3$となるような実数の定数$a$がとり得る値の範囲を次の$①$～$⑤$から選ぶと$[ア]$である．
\[ ① 6<a \quad ② 6 \leqq a \quad ③ 6<a<\frac{13}{2} \quad ④ 6 \leqq a<\frac{13}{2} \quad ⑤ 6<a \leqq \frac{13}{2} \]
(2)$1000$以下の自然数で，$3$または$5$で割りきれる数は$[イ][ウ][エ]$個であり，そのうち偶数でないものは$[オ][カ][キ]$個ある．
(3)$2$つの方程式$x^2-2ax+2a^2+a-2=0$と$x^2+(2a+2)x-a+1=0$がともに実数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ク] \leqq a \leqq [ケ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．関数$y=4 \sin x+3 \cos x$の最小値は$[コ]$であり，$y$の最大値を与える$x$の値を$\theta$とすると，$\displaystyle \sin 2\theta=\frac{[サ][シ]}{[ス][セ]}$である．
(5)$x$の関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=\int_0^1 xtf(t) \, dt+2$を満たすとき，$\displaystyle f(x)=\frac{[ソ]}{[タ]}x+[チ]$である．