「分数」について
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私立 近畿大学 2013年 第2問空間内の同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$を満たしているとする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．
私立 近畿大学 2013年 第3問関数$f(x)$は次の等式を満たすものとする．
\[ \int_1^x f(t) \, dt=x^3+3x^2 \int_0^1 f(t) \, dt+x+k \]
ただし，$k$は定数とする．
(1)$f(x)=[ア]x^2-[イ]x+[ウ]$であり，$k=[エ]$である．関数$f(x)$は$x=[オ]$のとき最小値$[カキ]$をとる．
(2)関数$y=g(x)$のグラフと関数$y=f(x)$のグラフが，直線$x=3$に関して対称であるとすると
\[ g(x)=[ク]x^2-[ケコ]x+[サシ] \]
である．$y=g(x)$のグラフと$x$軸との共有点の$x$座標は
\[ \frac{[スセ] \pm \sqrt{[ソ]}}{[タ]} \]
であり，$y=g(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積は
\[ \frac{[チ] \sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
である．
\[ \int_1^x f(t) \, dt=x^3+3x^2 \int_0^1 f(t) \, dt+x+k \]
ただし，$k$は定数とする．
(1)$f(x)=[ア]x^2-[イ]x+[ウ]$であり，$k=[エ]$である．関数$f(x)$は$x=[オ]$のとき最小値$[カキ]$をとる．
(2)関数$y=g(x)$のグラフと関数$y=f(x)$のグラフが，直線$x=3$に関して対称であるとすると
\[ g(x)=[ク]x^2-[ケコ]x+[サシ] \]
である．$y=g(x)$のグラフと$x$軸との共有点の$x$座標は
\[ \frac{[スセ] \pm \sqrt{[ソ]}}{[タ]} \]
であり，$y=g(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積は
\[ \frac{[チ] \sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
である．
私立 近畿大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x$についての$2$次式$P(x)$を$x+1$で割ると，商が$x-a$であり，余りが$b$であるとする．ただし，$b$は$0$ではないとする．
(i) $2$次方程式$P(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつための必要十分条件は，
$(a+[ア])^2>[イ]b$である．
(ii) $P(a)=P(-a)$を満たす$a$の値は$2$つあり，小さい順に，$[ウ]$，$[エ]$である．
(iii) $P(a+b)=P(a-b)$を満たすとき，$a=[オカ]$である．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個が入っている．この袋から玉を$1$個取り出し，それを戻すと同時に，その玉と同じ色の玉を$1$個加える．このような操作を$3$回繰り返す．操作が終わったときに，袋の中の赤玉と白玉が同数になっている確率は，$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$であり，白玉が赤玉より$2$個多くなっている確率は，$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．
(1)$x$についての$2$次式$P(x)$を$x+1$で割ると，商が$x-a$であり，余りが$b$であるとする．ただし，$b$は$0$ではないとする．
(i) $2$次方程式$P(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつための必要十分条件は，
$(a+[ア])^2>[イ]b$である．
(ii) $P(a)=P(-a)$を満たす$a$の値は$2$つあり，小さい順に，$[ウ]$，$[エ]$である．
(iii) $P(a+b)=P(a-b)$を満たすとき，$a=[オカ]$である．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個が入っている．この袋から玉を$1$個取り出し，それを戻すと同時に，その玉と同じ色の玉を$1$個加える．このような操作を$3$回繰り返す．操作が終わったときに，袋の中の赤玉と白玉が同数になっている確率は，$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$であり，白玉が赤玉より$2$個多くなっている確率は，$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．
私立 近畿大学 2013年 第2問空間内の同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$を満たしているとする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．
私立 近畿大学 2013年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と直線$\ell:y=-2x+a$を考える．ただし，$a$は定数とする．
(1)$C$と$\ell$が$2$個の共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は，$a>[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)$(1)$の条件のもとで，$C$と$\ell$の共有点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(i) $\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とすると
\[ \alpha+\beta=\frac{a}{[ウ]},\quad \beta-\alpha=\frac{\sqrt{a^2-[エ]}}{[オ]},\quad \alpha\beta=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．
(ii) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{a \sqrt{a^2-[ク]}}{[ケ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$であるとき，$a=[コ] \sqrt{[サ]}$であり，このとき$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積は
\[ \sqrt{[シス]}+\log ([セ]-\sqrt{[ソタ]}) \]
である．
(1)$C$と$\ell$が$2$個の共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は，$a>[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)$(1)$の条件のもとで，$C$と$\ell$の共有点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(i) $\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とすると
\[ \alpha+\beta=\frac{a}{[ウ]},\quad \beta-\alpha=\frac{\sqrt{a^2-[エ]}}{[オ]},\quad \alpha\beta=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．
(ii) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{a \sqrt{a^2-[ク]}}{[ケ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$であるとき，$a=[コ] \sqrt{[サ]}$であり，このとき$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積は
\[ \sqrt{[シス]}+\log ([セ]-\sqrt{[ソタ]}) \]
である．
私立 九州産業大学 2013年 第4問数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$とするとき，
\[ S_n=\frac{1}{3}-(n+2)a_n \]
を満たすとする．
(1)$a_1$の値は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$を$n$の式で表すと$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=[イ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{a_n}{a_1}$を$n$の式で表すと$\displaystyle \frac{a_n}{a_1}=[ウ]$である．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[エ]$である．
(5)$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{a_n}$の値は$[オ]$である．
\[ S_n=\frac{1}{3}-(n+2)a_n \]
を満たすとする．
(1)$a_1$の値は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$を$n$の式で表すと$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=[イ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{a_n}{a_1}$を$n$の式で表すと$\displaystyle \frac{a_n}{a_1}=[ウ]$である．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[エ]$である．
(5)$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{a_n}$の値は$[オ]$である．
私立 九州産業大学 2013年 第5問関数$\displaystyle f_n(x)=\frac{1}{x(1+x)^n} (-1<x<0)$とおく．ただし，$n$は正の整数とし，$C$は積分定数とする．
(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)=[ア]$である．
(2)関数$f_n(x)$は$x=[イ]$において極値をとる．
(3)$\displaystyle \int f_1(x) \, dx=[ウ]+C$である．
(4)$\displaystyle \int f_{n+1}(x) \, dx-\int f_n(x) \, dx=[エ]+C$である．
(5)$\displaystyle \int f_3(x) \, dx=[オ]+C$である．
(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)=[ア]$である．
(2)関数$f_n(x)$は$x=[イ]$において極値をとる．
(3)$\displaystyle \int f_1(x) \, dx=[ウ]+C$である．
(4)$\displaystyle \int f_{n+1}(x) \, dx-\int f_n(x) \, dx=[エ]+C$である．
(5)$\displaystyle \int f_3(x) \, dx=[オ]+C$である．
私立 東京都市大学 2013年 第2問$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$で表される放物線$P$と，$x^2+(y-k)^2=r^2 (r>0)$で表される円$Q$がある．放物線$P$上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{1}{2} \right)$をとるとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$における放物線$P$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で円$Q$に接するとき，$k$と$r$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$k$と$r$において，次の連立不等式が表す領域の面積を求めよ．
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
x^2+(y-k)^2 \geqq r^2 \\
y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.4}
(1)点$\mathrm{A}$における放物線$P$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で円$Q$に接するとき，$k$と$r$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$k$と$r$において，次の連立不等式が表す領域の面積を求めよ．
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
x^2+(y-k)^2 \geqq r^2 \\
y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.4}
私立 九州産業大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3+\sqrt{2}$の小数部分を$a$とするとき，次の計算をせよ．
(i) $\displaystyle a+\frac{1}{a}=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(ii) $\displaystyle a^3-\frac{1}{a^3}=[ウエオ]$である．
(2)方程式$8 \cdot 4^x-129 \cdot 2^x+16=0$の解は$x=[カキ]$と$x=[ク]$である．
(3)$3$点$(0,\ 0)$，$(\cos {30}^\circ,\ \sin {30}^\circ)$，$(\sqrt{2} \cos \alpha,\ \sqrt{2} \sin \alpha)$を頂点とする三角形の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとき$\alpha$の値は$[ケコ]^\circ$である．ただし${30}^\circ<\alpha \leqq {90}^\circ$とする．
(4)点$\mathrm{P}$が$xy$平面の原点$\mathrm{O}$にある．コインを投げ，表が出たならば点$\mathrm{P}$を$x$軸方向に$1$だけ動かし，裏が出たならば点$\mathrm{P}$を$y$軸方向に$1$だけ動かす．コインを$5$回投げたときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とする．
(i) $x$の最大値は$[サ]$，最小値は$[シ]$である．
(ii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる場合の数は$[スセ]$通りである．
(iii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる確率は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$である．
(1)$3+\sqrt{2}$の小数部分を$a$とするとき，次の計算をせよ．
(i) $\displaystyle a+\frac{1}{a}=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(ii) $\displaystyle a^3-\frac{1}{a^3}=[ウエオ]$である．
(2)方程式$8 \cdot 4^x-129 \cdot 2^x+16=0$の解は$x=[カキ]$と$x=[ク]$である．
(3)$3$点$(0,\ 0)$，$(\cos {30}^\circ,\ \sin {30}^\circ)$，$(\sqrt{2} \cos \alpha,\ \sqrt{2} \sin \alpha)$を頂点とする三角形の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとき$\alpha$の値は$[ケコ]^\circ$である．ただし${30}^\circ<\alpha \leqq {90}^\circ$とする．
(4)点$\mathrm{P}$が$xy$平面の原点$\mathrm{O}$にある．コインを投げ，表が出たならば点$\mathrm{P}$を$x$軸方向に$1$だけ動かし，裏が出たならば点$\mathrm{P}$を$y$軸方向に$1$だけ動かす．コインを$5$回投げたときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とする．
(i) $x$の最大値は$[サ]$，最小値は$[シ]$である．
(ii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる場合の数は$[スセ]$通りである．
(iii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる確率は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$である．
私立 九州産業大学 2013年 第2問放物線$y=x^2-4x+6$と放物線$y=2x^2-7x+8$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，この$2$つの放物線の交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{C}$は$\triangle \mathrm{OAB}$の外接円上にあり$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とは異なる点とする．
(1)点$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$，点$\mathrm{B}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$[オ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OBC}$の面積が等しいとき，点$\mathrm{C}$の座標は$([ケコ],\ [サ])$である．
(1)点$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$，点$\mathrm{B}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$[オ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OBC}$の面積が等しいとき，点$\mathrm{C}$の座標は$([ケコ],\ [サ])$である．