数列$\{a_n\}$が$\displaystyle a_1=\frac{1}{41}$，$a_{n+1}+2na_{n+1}a_n-a_n=0$を満たしているとき，
\[ \frac{1}{a_5}=[][],\quad \sum_{n=1}^{50} \frac{1}{a_n}=\ \fboxsep=0pt\fbox{\rule[-0.25em]{0pt}{1.1em}\makebox[10mm][c]{\small{}}}\hspace{-0.04em}\fbox{\rule[- 0.25em]{0pt}{1.1em}\makebox[10mm][c]{\small{}}}\hspace{-0.04em}\fbox{\rule[-0.25em]{0pt}{1.1em}\makebox [10mm][c]{\small{}}}\hspace{-0.04em}\fbox{\rule[-0.25em]{0pt}{1.1em}\makebox[10mm][c]{\small{}}}\hspace{-0.04em}\fbox{\rule[-0.25em]{0pt}{1.1em}\makebox[10mm][c]{\small{}}} \]
である．

定数$a (a>1)$に対して曲線$y=a^x$，$x$軸および$y$軸，直線$x=1$で囲まれた図形を$S$とし，曲線$y=a^{2x}$，曲線$y=a^x$および直線$x=1$で囲まれた図形を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S$を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．
(2)$D$を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$W(a)$を求めよ．
(3)$V(a)=W(a)$となる$a$の値を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to 1+0} \frac{W(a)}{a-1}$を求めよ．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし， $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．
(ii) 各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．
日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[　]$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$[　]$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$[　]$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$[　]$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[　]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[　]$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$[　]$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[　]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[　]$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[　]$となる．

$\omega=1+i$とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$\displaystyle \frac{\overline{\omega}}{\omega}$を解としてもつとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．また，$3$次方程式$x^3+cx^2+dx+e=0$が解として$1$と$\omega^3$をもつとき，$c=[$6$]$，$d=[$7$]$，$e=[$8$]$である．ここで，$i$は虚数単位，$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数である．

次の計算をしなさい．
\[ \int_0^1 2^{2x} \, dx=[$9$],\quad \int_1^2 2 \log_2 x \, dx=[$10$],\quad \int_0^{\frac{\pi}{24}} 16 \sin^2 x \, dx=[$11$] \]

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{4x+5}{x^2+1}$とする．
$f(x)$は，$\cos x=[$12$]$で最小値$[$13$]$を，$x=[$14$]$で最大値$[$15$]$をとる．
(2)$f(x)=\cos 5x+9 \cos 3x-10 \cos x$とする．
$f(x)$は，$\cos x=[$16$]$のとき最小値$[$17$]$をとる．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2-x-y-xy-2=0$を満たすとき，$x$の最小値は$[$18$]$，最大値は$[$19$]$である．また，$x+y$の最小値は$[$20$]$，最大値は$[$21$]$である．

$k$は定数とし，媒介変数$t$を用いて$x=2 \sin^3 t$，$\displaystyle y=k \cos^3 t \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と表される曲線$S$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$k,\ t$を用いて表せ．ただし$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．
(2)曲線$S$が直線$x+y=1$に第$1$象限で接しているとき，接点の座標を$(p,\ q)$とする．$p,\ q,\ k$の値を求めよ．また，そのときの$t$の値$t_0$を求めよ．
(3)$(2)$で定まる$t_0$に対し，$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^4 t \, dt$，$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^6 t \, dt$の値をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で定まる$p,\ q,\ k,\ t_0$に対し，$0 \leqq x \leqq p$で曲線$S$，直線$x+y=1$と$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{4}{7}-\frac{7}{9} \right) \div \frac{13}{3}$を計算せよ．
(2)不等式$x \cdot |x|<x$を解け．
(3)正四面体の$4$個の頂点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの文字で表すとき，文字の配置方法は何通りあるか求めよ．ただし，正四面体を回転させてすべての文字が一致すれば，同じ配置方法とみなす．
(4)$(1-i)^{10}$を計算せよ．ただし，$i^2=-1$である．
(5)$\log_{10}2+\log_{10}80-4 \log_{10}2$を簡単にせよ．

関数$y=\cos^2 \theta+2 \sin \theta+2$について，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \theta=t$とおくとき，$y$を$t$の式で表せ．

(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$y$の値を求めよ．

(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$y$の最大値および最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{4}{7}-\frac{7}{9} \right) \div \frac{13}{3}$を計算せよ．
(2)不等式$x \cdot |x|<x$を解け．
(3)正四面体の$4$個の頂点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの文字で表すとき，文字の配置方法は何通りあるか求めよ．ただし，正四面体を回転させてすべての文字が一致すれば，同じ配置方法とみなす．
(4)分担可能なある仕事を仕上げるのに，$\mathrm{A}$さんは$3$時間，$\mathrm{B}$さんは$4$時間，$\mathrm{C}$さんは$6$時間かかる．この仕事を$3$人で分担し，同時に行うとすると時間はどれだけかかるか求めよ．