次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \cos \theta+\sin \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\cos^3 \theta \sin^2 \theta+\cos^2 \theta \sin^3 \theta$を求めよ．
(2)等式$(a+i)(a+1-i)=4+bi$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$xy$平面上の$2$点$(1,\ 2)$，$(3,\ 1)$を通る直線を$\ell$とする．直線$\ell$上を動く点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$に最も近づくとき，線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

次の問に答えよ．



(1)関数$y=\cos^2 x$のグラフの$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$である点における接線の方程式を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^4 x \log (x+1) \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
(3)$\displaystyle \int_a^1 \left( \frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3} \right) \, dx=0$を満たす正の定数$a$をすべて求めよ．

$n$を自然数とする．次の問に答えよ．

(1)二項定理を用いて，$\displaystyle \sum_{k=0}^n \comb{n}{k}=2^n$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle a_k=\frac{1}{k!} (0 \leqq k \leqq n)$に対し，$\displaystyle \sum_{k=0}^n a_ka_{n-k}$を求めよ．

$y=3 \cos \theta-\sin^2 \theta+3$に関し，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

(1)$\theta=[　] \pi$のとき，$y$は最小値$[　]$をとる．$\theta=[　] \pi$のとき，$y$は最大値$[　]$をとる．
(2)$\displaystyle y=\frac{15}{4}$となるときの$\theta$の値は$[　]$個あり，それらの中で最大のものは$\displaystyle \theta=\frac{[　]}{[　]} \pi$である．

方程式$2x^3+x^2-2xy+3y^2+y^3=6$で定められる$x$の関数$y$の導関数は，
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{[　]x^2+[　]x-[　]y}{[　]x-[　]y-[　]y^2} \]
である．

一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\angle \mathrm{ADM}=\theta$としたとき，$\cos \theta$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．頂点$\mathrm{A}$から$\mathrm{MD}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とすると，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$であり，この正四面体の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[][]}$である．また，この正四面体に内接する球の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[][]}$である．

数列$\{a_n\}$を
\[ 1,\ \sitabrace{\frac{1}{2},\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{2}}_{},\ \sitabrace{\frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3}}_{},\ \sitabrace{\frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4}}_{},\ \frac{1}{5},\ \cdots \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{m+1}<a_n \leqq \frac{1}{m} (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となる$a_n$の項数は$[　] m-[　]$であり，$\displaystyle \frac{1}{m+1}<a_n$となる$a_n$の項数は，$m^{[　]}$である．

(2)$\displaystyle \frac{1}{m+1}<a_n$となる項の総和を$S_m$とすると，
\[ S_m=[　] m-\sum_{k=1}^m \frac{[　]}{k} \]
となる．

次の各問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$地点から$15 \, \mathrm{km}$離れた$\mathrm{B}$地点まで行くのに，初めは時速$4 \, \mathrm{km}$で歩き，途中から時速$6 \, \mathrm{km}$で歩くことにする．$\mathrm{A}$地点を出発後，$3$時間以内に$\mathrm{B}$地点に到着するためには，時速$4 \, \mathrm{km}$で歩ける距離は最大で$[ア] \, \mathrm{km}$である．
(2)半径$2 \sqrt{6}$の円に内接する正三角形の$1$辺の長さは$[イ] \sqrt{[ウ]}$である．
(3)中心が$(-2,\ 3)$で，$y$軸に接する円の方程式は$x^2+y^2+[エ]x-[オ]y+[カ]=0$である．
(4)$3^n$の一の位の数字が$1$になる正の整数$n$の最小値は$[キ]$であり，$3^{102}$の一の位の数字は$[ク]$である．
(5)数直線上の集合$A=\{x \;|\; 2<x<9 \}$，$B=\{x \;|\; k<x<k+2 \}$（ただし，$k$は定数）において，$A \cap B$が空集合となるような$k$の値の範囲は$k \leqq [ケ]$または$[コ] \leqq k$である．
(6)白玉$3$個，赤玉$5$個の計$8$個の玉が入った箱の中から同時に$4$個の玉を取り出すとき，白玉も赤玉もともに取り出される確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．
(7)方程式$\displaystyle 9^x=\frac{3}{27^x}$の解は$\displaystyle x=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(8)関数$f(x)=-2x^3-6x^2+9$の極大値は$[チ]$，極小値は$[ツ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)関数$f(x)=8 \cos 2x+9 \tan^2 x$は，$\displaystyle f(x)=[アイ] \cos^2 x+\frac{[ウ]}{\cos^2 x}-[エオ]$と変形できる．$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]} \pi$のとき最小値$[ク]$をとる．
(2)$x$の不等式$\log_a(x+1)^2>\log_a \{9(x+5)\}$の解は，$a>1$のとき，$[ケコ]<x<[サシ]$，$[スセ]<x$であり，$0<a<1$のときは，$[サシ]<x<[ソタ]$，$[ソタ]<x<[スセ]$である．

$0^\circ \leqq \theta<180^\circ$で$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$であるとき，以下の問に答えよ．

(1)以下の値を，それぞれ求めよ．
\[ \begin{array}{lll}
① \sin \theta \cos \theta & ② \sin^3 \theta+\cos^3 \theta & ③ \sin^4 \theta+\cos^4 \theta \\
④ \tan \theta+\displaystyle\frac{1}{\tan \theta} & ⑤ \tan^2 \theta+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 \theta} & ⑥ \tan^3 \theta+\displaystyle\frac{1}{\tan^3 \theta} \phantom{\frac{[　]}{[　]}}
\end{array} \]
(2)$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ．