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私立 北里大学 2013年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-(2a-1)x^2+3a(a-2)x-a(a-10)$を考える．ただし，$a$は正の実数とする．
(1)不等式$f(0)>0$が成り立つような定数$a$の値の範囲を求めよ．また，$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極小値を$a$を用いて表せ．
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの異なる正の解と$1$つの負の解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(1)不等式$f(0)>0$が成り立つような定数$a$の値の範囲を求めよ．また，$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極小値を$a$を用いて表せ．
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの異なる正の解と$1$つの負の解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
私立 津田塾大学 2013年 第1問次の問に答えよ．
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(e^{3x}-1)}{1-\cos x}$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 3$において連続で，$f(x)>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=0$，$x=3$により囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$6 \pi$であり，$D$を直線$y=-1$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$13 \pi$である．$D$の面積を求めよ．
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(e^{3x}-1)}{1-\cos x}$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 3$において連続で，$f(x)>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=0$，$x=3$により囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$6 \pi$であり，$D$を直線$y=-1$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$13 \pi$である．$D$の面積を求めよ．
私立 津田塾大学 2013年 第3問次の問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=5a_n-4 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{n!}{a_n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定める．$\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}$を$n$を用いて表せ．
(3)$b_n$を最小とするような$n$の値をすべて求めよ．
(1)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=5a_n-4 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{n!}{a_n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定める．$\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}$を$n$を用いて表せ．
(3)$b_n$を最小とするような$n$の値をすべて求めよ．
私立 北里大学 2013年 第3問次の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値は$[ ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ ]$である．さらに，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AI}$の長さを線分$\mathrm{ID}$の長さで割った$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$の値は$[ ]$である．
(2)放物線$y=x^2-4x+3$を$C$とおく．点$(2,\ -5)$から$C$に引いた$2$本の接線の方程式は$y=[ ]$と$y=[ ]$である．これら$2$本の接線と$C$で囲まれた図形の面積は$[ ]$である．
(1)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値は$[ ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ ]$である．さらに，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AI}$の長さを線分$\mathrm{ID}$の長さで割った$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$の値は$[ ]$である．
(2)放物線$y=x^2-4x+3$を$C$とおく．点$(2,\ -5)$から$C$に引いた$2$本の接線の方程式は$y=[ ]$と$y=[ ]$である．これら$2$本の接線と$C$で囲まれた図形の面積は$[ ]$である．
私立 愛知工業大学 2013年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=[ ]$，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \right)^2=[ ]$である．
(2)$10$本のくじの中に$2$本の当たりくじがある．このくじを$\mathrm{A}$君が$2$本引き，次に$\mathrm{B}$さんが$2$本引く．ただし，引いたくじはもとに戻さないとする．このとき，$\mathrm{A}$君が$1$本も当たらない確率は$[ ]$である．また，$\mathrm{B}$さんが少なくとも$1$本当たる確率は$[ ]$である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\mathrm{OQ}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[ ]$である．また，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[ ]$である．
(4)複素数$z=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）に対して，$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$とする．このとき，$|z|=1$と$|z-i|=1$を同時にみたす複素数$z$は$z=[ ]$である．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta}=2 \sqrt{6}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ ]$であり，$\theta=[ ]$である．
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 3x \, dx=[ ]$
(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=[ ]$，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \right)^2=[ ]$である．
(2)$10$本のくじの中に$2$本の当たりくじがある．このくじを$\mathrm{A}$君が$2$本引き，次に$\mathrm{B}$さんが$2$本引く．ただし，引いたくじはもとに戻さないとする．このとき，$\mathrm{A}$君が$1$本も当たらない確率は$[ ]$である．また，$\mathrm{B}$さんが少なくとも$1$本当たる確率は$[ ]$である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\mathrm{OQ}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[ ]$である．また，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[ ]$である．
(4)複素数$z=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）に対して，$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$とする．このとき，$|z|=1$と$|z-i|=1$を同時にみたす複素数$z$は$z=[ ]$である．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta}=2 \sqrt{6}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ ]$であり，$\theta=[ ]$である．
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 3x \, dx=[ ]$
私立 愛知工業大学 2013年 第2問$xy$平面において，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$を$C_1$とする．
(1)点$(x,\ y)$が曲線$C_1$上を動くとき，$x^2+2y$の最小値$k$を求めよ．
(2)$(1)$の$k$の値に対して，曲線$x^2+2y=k$を$C_2$とする．曲線$C_2$と$x$軸の正の部分との交点を$(a,\ 0)$とする．このとき，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)点$(x,\ y)$が曲線$C_1$上を動くとき，$x^2+2y$の最小値$k$を求めよ．
(2)$(1)$の$k$の値に対して，曲線$x^2+2y=k$を$C_2$とする．曲線$C_2$と$x$軸の正の部分との交点を$(a,\ 0)$とする．このとき，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ．
私立 北里大学 2013年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答を記せ．ただし，$(5)$において，必要ならば$\log_{10}2=0.3010$を用いてよい．
(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[ ] \overrightarrow{a}-[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[ ]$である．
(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[ ]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[ ]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最大値$[ ]$をとり，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最小値$[ ]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．
(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[ ]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[ ]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[ ]$である．
(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ ]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[ ]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[ ]$である．
(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[ ] \overrightarrow{a}-[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[ ]$である．
(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[ ]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[ ]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最大値$[ ]$をとり，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最小値$[ ]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．
(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[ ]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[ ]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[ ]$である．
(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ ]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[ ]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[ ]$である．
私立 藤田保健衛生大学 2013年 第2問次の問いに答えよ．
(1)任意の$x$の$1$次関数$f(x)$に対して$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx=Af(0)+Bf \left( \frac{\pi}{2} \right)$が常に成り立つような定数$A,\ B$を求めると，$(A,\ B)=[ ]$である．
(2)任意の$x$の$2$次関数$f(x)$に対して$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=Af(0)+Bf \left( \frac{1}{2} \right)+Cf(1)$が常に成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めると，$(A,\ B,\ C)=[ ]$である．
(1)任意の$x$の$1$次関数$f(x)$に対して$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx=Af(0)+Bf \left( \frac{\pi}{2} \right)$が常に成り立つような定数$A,\ B$を求めると，$(A,\ B)=[ ]$である．
(2)任意の$x$の$2$次関数$f(x)$に対して$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=Af(0)+Bf \left( \frac{1}{2} \right)+Cf(1)$が常に成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めると，$(A,\ B,\ C)=[ ]$である．
私立 藤田保健衛生大学 2013年 第4問$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$とする．時刻$t$における座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の位置が$x=\sin t$，$y=\sin 2t$で与えられている．
(1)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から点$\mathrm{P}$が最も遠方にあるとき，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$間の距離は$[ ]$であり，そのときの点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{v}$は$\overrightarrow{v}=[ ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡を$y=f(x)$と表すと，$f(x)=[ ]$である．ただし$x$の範囲は$[ ]$である．
(3)$(2)$で求めた軌跡と$x$軸とで囲まれてできる図形の面積は$[ ]$である．
(1)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から点$\mathrm{P}$が最も遠方にあるとき，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$間の距離は$[ ]$であり，そのときの点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{v}$は$\overrightarrow{v}=[ ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡を$y=f(x)$と表すと，$f(x)=[ ]$である．ただし$x$の範囲は$[ ]$である．
(3)$(2)$で求めた軌跡と$x$軸とで囲まれてできる図形の面積は$[ ]$である．
私立 東北工業大学 2013年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$3$個の数字を用いて$3$けたの整数をつくるとき，$300$以上の整数は$[][]$個できる．
(2)$2$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が$8$以上になる確率は$\displaystyle \frac{[][]}{12}$である．
(3)第$2$項が$10$，第$7$項が$320$である等比数列がある．この数列の公比は$[][]$であり，第$5$項は$[][]$である．
(4)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(\sqrt{6}-\sqrt{2},\ \sqrt{6}+\sqrt{2})$，$\overrightarrow{b}=(\sqrt{3},\ 1)$のなす角は$[][]^\circ$である．
(1)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$3$個の数字を用いて$3$けたの整数をつくるとき，$300$以上の整数は$[][]$個できる．
(2)$2$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が$8$以上になる確率は$\displaystyle \frac{[][]}{12}$である．
(3)第$2$項が$10$，第$7$項が$320$である等比数列がある．この数列の公比は$[][]$であり，第$5$項は$[][]$である．
(4)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(\sqrt{6}-\sqrt{2},\ \sqrt{6}+\sqrt{2})$，$\overrightarrow{b}=(\sqrt{3},\ 1)$のなす角は$[][]^\circ$である．