$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$はともに平面上の長さ$1$のベクトルで，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$を満たすとする．ただし，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$は内積を表す．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$の長さ$|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|$を求めよ．
(2)内積
\[ \left( \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a} \right) \cdot \left( \overrightarrow{c}+2 \overrightarrow{b} \right) \]
を最大にする長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．また，その最大値を求めよ．

$\theta$は$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたす実数とする．$xyz$空間内の平面$z=0$上に$2$点
\[ \mathrm{P}_\theta (\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}_\theta (2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta,\ 0) \]
をとり，$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で動かすとき，線分$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$が通過する部分を$D$とする．空間内の$z \geqq 0$の部分において，底面が$D$，$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$上の各点での高さが$\displaystyle \frac{2}{\pi}\theta$の立体$K$を考える．半球$B:x^2+y^2+z^2 \leqq 2^2$，$z \geqq 0$と$K$の共通部分を$L$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$B$を平面$z=t (0 \leqq t<2)$で切った切り口の円の半径を$t$を用いて表せ．
(2)$L$の体積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{3}{2} (1 \leqq x \leqq 3)$を考える．

(1)関数$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$は
\[ f^{-1}(x)=[ア]+\sqrt{[イ]x-[ウ]} \quad \left( \frac{[エ]}{[オ]} \leqq x \leqq \frac{[カ]}{[キ]} \right) \]
である．
(2)不等式$x<f^{-1}(x)$を満たす$x$の値の範囲は
\[ [ク]-\sqrt{[ケ]}<x \leqq \frac{[コ]}{[サ]} \]
である．

座標平面において次の$2$つの$2$次曲線を考える．

(1)原点$\mathrm{O}$と直線$x=-2$からの距離が等しい点の軌跡の方程式は
\[ y^2=[ア](x+[イ]) \]
である．
(2)$2$直線$\displaystyle y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$，$\displaystyle y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$を漸近線にもち，$2$つの焦点の座標が$(-2,\ 0)$，$(8,\ 0)$である双曲線の方程式は
\[ \frac{(x-[ウ])^2}{[エ][オ]}-\frac{y^2}{[カ]}=1 \]
である．
(3)$(1)$と$(2)$の$2$つの曲線の共有点は$[キ]$個ある．

関数$f(x)=|x-1| \sqrt{x}$を考える．

(1)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]}$で極大値$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]} \sqrt{[シ]}$をとり，$x=[ス]$で極小値$[セ]$をとる．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ][ト]}$である．

$1$個のさいころを投げて，$3$以上の目が出たときはその目を得点とし，$1$または$2$の目が出たときは，もう一度投げて$2$回目に出た目を得点とする．このとき，

(1)得点が$1$である確率は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．

(2)得点が$3$である確率は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}$である．

(3)得点の期待値は$\displaystyle \frac{[ト][ナ]}{[ニ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$\sqrt{3} \cos \theta+3 \sin \theta-\sqrt{6}>0 (0 \leqq \theta<2\pi)$の解は$\displaystyle \frac{\pi}{[ア][イ]}<\theta<\frac{[ウ]}{[エ][オ]} \pi$である．

(2)$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
と表せる．

関数$\displaystyle f(x)=2(\log_2 \frac{x}{2})(\log_4 \frac{x}{8})+3 (1 \leqq x \leqq 8)$について，$t=\log_2x$とおく．

(1)$t$のとり得る値の範囲は$[ス] \leqq t \leqq [セ]$である．
(2)$f(x)=t^2-[ソ]t+[タ]$である．
(3)関数$f(x)$は$t=[チ]$，すなわち$x=[ツ]$のとき最大値$[テ]$をとり，$t=[ト]$，すなわち$x=[ナ]$のとき最小値$[ニ]$をとる．

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=1,\quad a_n=-a_{n-1}+(-1)^n 3n \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
で定義されている．

(1)$a_2=[ア]$，$a_3=-[イ][ウ]$である．
(2)$b_n=(-1)^na_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，
\[ b_n=b_{n-1}+[エ]n \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$\displaystyle a_n=(-1)^nb_n=\frac{(-1)^n}{[オ]}([カ]n^2+[キ]n-[ク]) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．

関数$\displaystyle f(x)=2x^2+3x+1,\ g(x)=x^2+x+2$に対して，
\[ h(x)=2 \int_1^x f(t) \, dt-3 \int_1^x g(t) \, dt \]
とおく．

(1)$\displaystyle h(x)=\frac{1}{[ケ]}x^3+\frac{[コ]}{[サ]}x^2-4x+\frac{[シ][ス]}{[セ]}$である．

(2)$h(x)$は$x=[ソ][タ]$で極大値$\displaystyle \frac{[チ][ツ][テ]}{[ト]}$をとり，$x=[ナ]$で極小値$[ニ]$をとる．