空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-2,\ 3,\ -2)$，$\mathrm{C}(2,\ -3,\ 3)$がある．以下の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とすると，
\[ \cos \theta=-\frac{[ノ] \sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]} \]
である．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$が平行四辺形となるとき，
\[ \mathrm{D}([ヘ],\ [ホマ],\ [ミ]) \]
である．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$と$\mathrm{P}(1,\ 2,\ z)$が同一平面上にあるとき，
\[ z=-\frac{[ム]}{[メ]} \]
である．

$\displaystyle y=-x^2+3x+\frac{3}{4}$で表されるグラフを$C_1$とし，$y=|x-1|+|x-2|$で表されるグラフを$C_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の概形を同じ座標平面上に描け．
(2)不等式$\displaystyle -x^2+3x+\frac{3}{4}>|x-1|+|x-2|$を解け．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$2$次方程式$kx^2+8kx+3k-9=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとき，以下の問に答えよ．

(1)$|\alpha-\beta|=8$のとき，$k=[コ]$となる．

(2)$8<|\alpha-\beta|<10$のとき，$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}<k<[ス]$となる．
(3)$8<|\alpha-\beta|<10$を満たし，$|\alpha|+|\beta|$が整数になるとき，$\displaystyle k=\frac{[セソ]}{[タチ]}$となる．

三角形$\mathrm{ABC}$について$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=3 \sqrt{2}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．このとき，以下の内積を求めよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ニヌ]$
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=[ネノハ]$
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{[ヒフ]}{[ヘ]}$

次の問いに答えなさい．

(1)曲線$y=\log (1-x^2)$上のある点における接線の傾きが$-\sqrt{3}$のとき，その点の$x$座標を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{a}=(3^x,\ 3^{-x})$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0)$とする．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，$x$の値を求めなさい．
(3)方程式$\displaystyle \cos \left( x+\frac{\pi}{6} \right)+\sin x=0$を解きなさい．

異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，その$2$点間を次のように移動する点$\mathrm{P}$を考える．
\begin{itemize}
点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$上にあるとき，表が出る確率が$\displaystyle \frac{4}{7}$，裏が出る確率が$\displaystyle \frac{3}{7}$であるようなコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$にとどまり，裏が出れば点$\mathrm{B}$に移動する．
点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}$上にあるとき，表が出る確率が$q$，裏が出る確率が$1-q$であるようなコインを投げて，表が出れば$\mathrm{B}$にとどまり，裏が出れば点$\mathrm{A}$に移動する．
\end{itemize}
点$\mathrm{P}$は最初に点$\mathrm{A}$上にあるとし，コインを$n$回投げた後に，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$上にある確率を$p_n$で表す（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$p_2$を$q$で表しなさい．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$と$q$で表しなさい．
(3)$\displaystyle q=\frac{5}{7}$のとき$p_n$を$n$で表しなさい．

$\displaystyle a=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2},\ b=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$とする．次の空欄を埋めなさい．

(1)$a+b=[　]$，$a \times b=[　]$である．
(2)$\displaystyle \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=[　]$である．
(3)$a^2+b^2=[　]$である．
(4)$a^3+b^3=[　]$である．
(5)$a^4+b^4=[　]$である．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=2,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
各$n$に対して，$b_n$を$b_n=a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2$とし，$c_n$を$2$次方程式$a_{n+2}x^2+a_{n+1}x-a_n=0$の解のうち大きいほうとする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ．また，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$c_n$を$a_n$と$a_{n+2}$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{a_ka_{k+1}}$を$c_n$を用いて表せ．

数列$\{a_n\}$が
\[ \begin{array}{l}
a_2=\displaystyle \frac{1}{2}a_1 \\
a_n=\displaystyle \frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2}) \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \\
\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=2
\end{array} \]
を満たすとき，一般項$a_n$を求めよ．

不等式
\[ \frac{x^2-1}{x} \leqq 1 \]
を満たす実数$x$の範囲を求めよ．