以下の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$，$y>0$，$a>b$のとき，$\displaystyle b \leqq \frac{ax+by}{x+y}$であることを示せ．
(2)$x \geqq 0$，$y>0$，$a>b$で$(x+y)^2=ax+by$とする．$s=x+y$とおくとき，$a,\ b,\ s$の大小関係を求めよ．
(3)$x \geqq 0$，$y>0$，$z \geqq 0$，$a>b>c$で$(x+y+z)^2=ax+by+cz$とする．$t=x+y+z$とおくとき，$a,\ c,\ t$の大小関係を求めよ．

$xy$平面において，点$(2,\ 0)$を点$(1,\ \sqrt{3})$へ，点$(1,\ \sqrt{3})$を点$(-1,\ \sqrt{3})$へ移す$1$次変換$f$を表す行列を$A$とする．$\displaystyle B=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$とし，$B$が表す$1$次変換を$g$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A$および$A^3$を求めよ．
(2)$A^6$が表す$1$次変換によって点$(1,\ 0)$が移る点の座標を求めよ．
(3)合成変換$f \circ g$を表す行列を$C$とするとき，$C^n=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$となる最小の自然数$n$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BO}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{OP}$の交わる点を$\mathrm{S}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BR}$の交わる点を$\mathrm{T}$とし，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{OP}$の交わる点を$\mathrm{U}$とするとき，$\triangle \mathrm{STU}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の比の値$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{STU}}{\triangle \mathrm{OAB}}$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)空間に点$\mathrm{P}(-4,\ -6,\ 3)$がある．いま，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -3,\ 0)$，$\mathrm{B}(-4,\ 0,\ 12)$を結ぶ直線上に点$\mathrm{H}$をとり，直線$\mathrm{PH}$が直線$\mathrm{AB}$と垂直になるようにする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=t$とおく．$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(ii) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5} (-\pi<\theta<\pi)$とする．$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値を求めよ．

(3)$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた$n$枚の同じ形のカードがある．ただし，$n$は$2$以上の整数である．この$n$枚のカードから，元に戻さずに$1$枚ずつ$2$回無作為に抜き出すとする．$2$回目に抜き出したカードの番号が$1$回目の番号より大きければ，$2$回目のカードの番号を得点とする．そうでなければ得点は$0$とする．次の問に答えよ．

(i) $m$は$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．$2$回目のカードの番号が$m$となる確率を求めよ．
(ii) $m$は$(ⅰ)$と同じとする．得点が$m$となる確率を求めよ．
(iii) 得点が$0$となる確率を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 得点の期待値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle H:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$について，次の問に答えよ．

(i) 双曲線$H$の焦点の座標を求めよ．
(ii) 双曲線$H$について正の傾きをもつ漸近線の方程式を求めよ．
(iii) $(ⅱ)$で求めた漸近線と直交する直線が$H$と接するとき，その接点の座標を求めよ．

(2)不等式$9a>b,\ \log_ab>\log_ba^4+3$をすべて満たす整数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)直線$x-y+2=0$を$\ell$とし，直線$x+y-3=0$を$m$とする．$1$次変換$f$によって，直線$\ell$は$m$に移り，また直線$m$は$\ell$に移る．このとき，次の問に答えよ．

(i) $1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(ii) $A^{2013}$を求めよ．

台形$\mathrm{ABCD}$があり，上底は$\mathrm{AD}=3$，下底は$\mathrm{BC}=6$であり，また$\mathrm{AB}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{2\pi}{3}$である．いま，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおく．以下の各問に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(4)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|$を求めよ．
(5)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x+y=6,\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}$のとき，$(x-2)(y-2)=[ア]$であり，$x^2+y^2=[イ]$である．
(2)$32$の正の約数の数は$[ウ]$個，$288$の正の約数の数は$[エ]$個である．
(3)$\displaystyle \cos \theta-\sin \theta=\frac{1}{2} (0<\theta<\frac{\pi}{4})$のとき，$\sin 2\theta=[オ]$であり，$\sin 4\theta=[カ]$である．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とするとき，$2^{50}$は$[キ]$桁，$3^{80}$は$[ク]$桁の整数である．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$f(x)$は$x$の$n$次の多項式で，$f^\prime(x) f^{\prime\prime}(x)=f(x)$および$\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=\frac{1}{2}$を満たすとする．このとき$n=[ア]$であり，$f(0)=[イ]$である．
(2)さいころを$3$回投げ，出た目の最大値を$X$とする．このとき，$X=3$となる確率は$[ウ]$であり，$X$の平均は$[エ]$である．

$k$を実数とする．関数$f(x)=(k-\cos x)(k-\sin x) (0 \leqq x \leqq \pi)$が$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で極値をとるとする．

(1)$k$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle \sin (\theta+\frac{2}{3}\pi)+\cos (\theta+\frac{1}{6}\pi)$を$r \sin (\theta+\alpha)$と表せば，$r=[ア]$，$\alpha=[イ]$である．ただし，$0 \leqq \alpha<2\pi$とする．
(2)$a>0$とするとき，$3$辺の長さが$a,\ a^2,\ a^3$となる三角形が存在するのは，$[ウ]<a<[エ]$のときである．