次の各問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$2x^2+4(k+2)x+(7k+9)=0$が実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$であるとき，この三角形の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\log_{10}2=0.3010$とするとき，$\log_{10}125$の値を求めよ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2 \cos^2 \theta+2x \sin 2\theta+a \sin^2 \theta=0$が重解をもつとき，定数$a$の値を求めよ．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．
(3)座標平面上に，$3$直線$\ell_1:y=x+1$，$\ell_2:y=2x$，$\ell_3:y=ax+b$がある．$\ell_1$と$\ell_2$が$\ell_3$に関して対称であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．

次の各問いに答えよ．

(1)$x^2(x^2+1)-(x-2)(x+1)(x^2-x+2)$を計算して簡単にせよ．
(2)$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{4}$である三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，線分$\mathrm{MC}$の長さと，三角形$\mathrm{AMC}$の外接円の半径$R$をそれぞれ求めよ．
(3)$a=5+\sqrt{3}$，$b=5-\sqrt{3}$，$c=3+\sqrt{5}$，$d=3-\sqrt{5}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bd}$の値を求めよ．

数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$は，$1$から$2n-1$までの異なる$n$個の奇数を並べかえたものである．また，数列$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$は，$2$から$2n$までの異なる$n$個の偶数を並べかえたものである．$S_n=a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$n$は$3$以上の整数とする．

(1)$n=3$であり，$b_1=4$，$b_2=6$，$b_3=2$のとき，$S_3$を最大にする$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．

(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n 2ka_k+\sum_{k=1}^n \frac{(a_k-2k+1)^2}{2}$を$n$を用いて表せ．

(3)$b_k=2k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$とする．$S_n$を最大にする$a_k$を$k$を用いて表せ．

次の各問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2+5x+3=0$の$2$つの解を$\alpha$，$\beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2$と$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$x$の方程式$3^{4x}+3^{2x+2}-52=0$を解け．
(3)面積$a$の扇形の弧の長さが$b$であり，$\displaystyle \frac{b}{a}=4$が成り立つとき，この扇形の半径$r$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\cos x (-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi)$について，曲線$C:y=f(x)$と$y$軸との交点を$\mathrm{A}$とする．

(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標をすべて求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．また，曲線$C$上の点$\mathrm{A}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$，および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a_1=3$，$a_{n+1}=a_n+8n+4 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．

(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle x+\frac{1}{x}=3$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ア]$であり，$x^3-5x^2+7x-2=[イ]$である．
(2)定義域を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$とするとき，$f(x)=\cos 3x+\sin 3x$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$[エ]$である．
(3)ある工業製品の価格が前年比で毎年$10 \;\%$ずつ下落している．現在の価格が$1000$円であるならば，$3$年後の価格は$[オ]$円となり，価格がはじめて$200$円を下回るのは$[カ]$年後である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，解答欄には整数値を入れよ．
(4)曲線$y=x^3+1$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接している．また，曲線$y=x^2+ax+1 (a<0)$も$\ell$と$\mathrm{A}$で接している．このとき，$a=[キ]$であり，$\ell$の方程式は$[ク]$である．
(5)定数$a$に対して，$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+x-6$であるとき，$f(x)=[ケ]$，$a=[コ]$である．

$2$つの関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{1+e^x},\quad g(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2} \]
とする．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$について$g(-x)=g(x)$が成り立つことを示せ．
(3)$a$を正の定数とする．このとき，次の$2$つの定積分を求めよ．
\[ \int_{-a}^a xg(x) \, dx,\quad \int_{-a}^a |x| g(x) \, dx \]

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，$b$を$\sqrt{6}$を用いて表すと$b=[ア]$である．また，$a^2-ab-b^2=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$に対して，$3$次方程式$ax^3+(a-2)x^2+(b-3)x-b=0$が$x=1+i$を解として持つとき，$(a,\ b)=[ウ]$であり，この方程式の実数解は$[エ]$である．
(3)$2$次方程式$\displaystyle ax^2-\frac{1}{5}x-\frac{12}{25}=0$の$2$つの解がそれぞれ$\sin \theta$，$\cos \theta$であるとき，$a$の値は$[オ]$であり，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$の値は$[カ]$である．
(4)直線$x-y=1$上を動く点$\mathrm{P}$がある．$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-3,\ 0)$，$\mathrm{C}(4,\ -1)$に対して，$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$の最小値は$[キ]$であり，このときの$\mathrm{P}$の座標は$[ク]$である．
(5)実数$a$に対して，$x$についての方程式$4^x+a \cdot 2^{x+2}+3a+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ケ]<a<[コ]$である．