$2$次関数$y=ax^2+bx+c$について次の問いに答えよ．

(1)この関数のグラフが$3$点$(2,\ 6)$，$\displaystyle \left( -1,\ -\frac{3}{2} \right)$，$\displaystyle \left( -5,\ \frac{5}{2} \right)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)この関数のグラフと直線$y=6$との交点の座標を求めよ．

連立不等式$\displaystyle -2<x-\frac{1}{x-2} \leqq 2$を解け．

大小$2$個のさいころを投げたとき，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$\displaystyle \frac{X}{X+3Y} \geqq \frac{2}{7}$となる確率を求めよ．

連立不等式$\displaystyle -2<x-\frac{1}{x-2} \leqq 2$を解け．

大小$2$個のさいころを投げたとき，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$\displaystyle \frac{X}{X+3Y} \geqq \frac{2}{7}$となる確率を求めよ．

$3$次関数$y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が$x=p$，$x=q (p \neq q)$において極値をとるとき，$\displaystyle \frac{f(p)-f(q)}{(p-q)^3}=-\frac{a}{2}$となることを示せ．

$x$は関係式$\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{x}{y}=1+\frac{y}{x}$を満たす正の実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x,\ y$を求めよ．
(2)$t=2x+y$とするとき，$t^5$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$2x^2+4(k+2)x+(7k+9)=0$が実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$であるとき，この三角形の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\log_{10}2=0.3010$とするとき，$\log_{10}125$の値を求めよ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2 \cos^2 \theta+2x \sin 2\theta+a \sin^2 \theta=0$が重解をもつとき，定数$a$の値を求めよ．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．
(3)座標平面上に，$3$直線$\ell_1:y=x+1$，$\ell_2:y=2x$，$\ell_3:y=ax+b$がある．$\ell_1$と$\ell_2$が$\ell_3$に関して対称であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．

座標平面上の放物線$C_1$は，点$(1,\ 0)$で$x$軸に接し，点$(0,\ -a)$を通っている．また，$C_1$を$x$軸に関して対称移動した後に，$x$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{a}-1$，$y$軸方向に$\displaystyle 1-\frac{1}{a}$だけ平行移動した放物線を$C_2$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)$C_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の方程式を求めよ．
(3)直線$\displaystyle y=(a-1) \left( x-\frac{1}{2} \right)$が$C_2$と異なる$2$つの共有点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．