点$(1,\ 1)$から，円$C:x^2+y^2-6x+8=0$に$2$本の異なる接線をひくとき，$2$つの接点の座標を，それぞれ$(a,\ b)$，$(c,\ d)$とする．ただし，$a>c$である．$\displaystyle -\frac{11bd}{ac}$の値を求めよ．

円$C:x^2+y^2-15x-10y+50=0$，直線$L:y=mx$（$m$は正の実数）について考える．円$C$と直線$L$は，異なる$2$つの点$\mathrm{P}(p,\ mp)$，$\mathrm{Q}(q,\ mq) (q>p)$で交わることとする．円$C$と$x$軸は，異なる$2$つの点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$で交わる（$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$のうち，原点に近い点を$\mathrm{S}$とする）．線分$\mathrm{QR}$の長さが，線分$\mathrm{PS}$の長さの$2$倍となるとき，$\displaystyle \frac{13mp}{12}$の値を求めよ．

赤いカードが$6$枚，白いカードが$2$枚入っている箱の中から，カード$1$枚取り出し，色を記録してから，取り出したカードをもとの箱に戻すことを$10$回続けて行うこととする．$8$回以上赤いカードが出る確率を$p$，$8$回以上白いカードが出る確率を$q$としたとき，$\displaystyle \frac{109p}{7q} \times 3^{-8}$の値を求めよ．

箱の中に赤いカード$6$枚，白いカード$5$枚，黒いカード$4$枚が入っている．この箱の中から$4$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚だけが同色で，残りの$2$枚はそれぞれ異なる色となる確率を$p$とする．$\displaystyle \frac{91p}{6}$の値を求めよ．

大小$2$個のサイコロを同時に投げるとき，出た目の積が$5$の倍数になる確率を$p$とし，出た目の和が$5$の倍数になる確率を$q$とする．$\displaystyle \frac{1}{p-q}$の値を求めよ．

放物線$y=x^2-6x+5$と直線$y=k (-4<k<0)$（$k$は実数）との$2$つの異なる交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}(3,\ 0)$で作られる三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最大値を$M$とするとき，$\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{4}M$の値を求めよ．

$9$つの辺の長さの総和が$9$である正三角柱（底面が正三角形である三角柱）の体積を$V$とする．各辺の長さが変化するとき，$V$の最大値を$M$とする．$\displaystyle \frac{12}{\sqrt{3}}M$の値を求めよ．

曲線$C_1:y=x^3+5x^2+9x+9$，曲線$C_2:y=-2x^2+ax+b$について考える．曲線$C_1$と曲線$C_2$は点$\mathrm{P}(1,\ 24)$で接する．曲線$C_2$と$x$軸で囲まれる面積を$S$とする．$\displaystyle \frac{9S}{13^3}$の値を求めよ．

$\displaystyle \sin \theta +\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\sin \theta>\cos \theta$のとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．

$\displaystyle \sin \theta +\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\sin \theta>\cos \theta$のとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．