$x$が$3<x<6$の範囲にあるとき，次の問に答えよ．

(1)この範囲ではつねに$\displaystyle \frac{1}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq 3$が成立することを示せ．

(2)この範囲でつねに$\displaystyle \frac{5}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq a$が成立するような$a$の最大値を求めよ．

$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{6}$となる実数とし，平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{Q}(\cos 3\theta,\ -\sin 3\theta)$をとる．さらに線分$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)加法定理を用いて$\cos 3\theta$を$\cos \theta$だけで表す式を導け．同様に$\sin 3\theta$を$\sin \theta$だけで表す式を導け．
(2)$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=5:11$のとき，$\sin \theta,\ \cos \theta$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件下で$\triangle \mathrm{POR}$の面積を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $m,\ n$が自然数ならば，$\displaystyle \frac{m}{n} \neq \sqrt{2}$である．このことを証明せよ．
(ii) $p,\ q$が自然数ならば，$\sqrt{2}$は$\displaystyle \frac{p}{q}$と$\displaystyle \frac{2q}{p}$の間にある．すなわち，$\displaystyle \frac{p}{q}<\sqrt{2}<\frac{2q}{p}$または$\displaystyle \frac{2q}{p}<\sqrt{2}<\frac{p}{q}$が成り立つ．このことを証明せよ．

(2)定数$a$は実数で，$a>0,\ a \neq 1$とする．このとき，すべての正の実数$x,\ y$に対して$x^{\log_ay}=y^{\log_ax}$が成り立つ．このことを証明せよ．

次の各問いに答えよ．

(1)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $m,\ n$が自然数ならば，$\displaystyle \frac{m}{n} \neq \sqrt{2}$である．このことを証明せよ．
(ii) $p,\ q$が自然数ならば，$\sqrt{2}$は$\displaystyle \frac{p}{q}$と$\displaystyle \frac{2q}{p}$の間にある．すなわち，$\displaystyle \frac{p}{q}<\sqrt{2}<\frac{2q}{p}$または$\displaystyle \frac{2q}{p}<\sqrt{2}<\frac{p}{q}$が成り立つ．このことを証明せよ．

(2)定数$a$は実数で，$a>0,\ a \neq 1$とする．このとき，すべての正の実数$x,\ y$に対して$x^{\log_ay}=y^{\log_ax}$が成り立つ．このことを証明せよ．

$8 \times 10^{\log_{\frac{1}{10}}2}$の値を求めよ．

$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}, (i^2=-1)$のとき，$\omega^{20}+\omega^{19}+\omega^8+\omega^6+\omega^4+\omega^3$の値を求めよ．

次の各問題の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}$を簡単にすると$[ア]$となる．
(2)$(0.98)^n<0.5$となる最小の整数$n$は$[イ]$である．ただし$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}7=0.8451$とする．
(3)和$\displaystyle \frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\cdots+\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$を求めると$[ウ]$となる．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ，$A$，$B$，$C$とし，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ，$2$，$3$，$4$とする．$\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{\tan A}$の値を求めよ．

$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{5} \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$のとき，
\[ \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}+\frac{\sin^2 \theta-\cos^2 \theta}{1+2 \sin \theta \cos \theta}+\frac{\sin 2\theta}{1+\cos 2\theta} \]
の値を求めよ．

$10 \cos^2 \theta-24 \sin \theta \cos \theta-5=0$のとき，$|\tan \theta|$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$とする．