座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$，$\mathrm{C}(c_1,\ c_2)$について考える．
\[ I=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad J=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right) \]
とおく．

(1)$I+J+J^2,\ J^3$を求めよ．
(2)$\left( \begin{array}{c}
a_1 \\
a_2
\end{array} \right) \neq \left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{c}
b_1 \\
b_2
\end{array} \right)=J \left( \begin{array}{c}
a_1 \\
a_2
\end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{c}
c_1 \\
c_2
\end{array} \right)=J^2 \left( \begin{array}{c}
a_1 \\
a_2
\end{array} \right)$のとき，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は正三角形をなすことを示せ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が異なり，
\[ \left( \begin{array}{c}
a_1 \\
a_2
\end{array} \right)+J \left( \begin{array}{c}
b_1 \\
b_2
\end{array} \right)+J^2 \left( \begin{array}{c}
c_1 \\
c_2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right) \]
が成り立つとき，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形となることを示せ．

$-2 \leqq x \leqq 2$上で関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}|x|,\quad g(x)=\int_{-2}^x f(t) \, dt \]
によって定める．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$g(x)$を計算し，$y=g(x)$のグラフの概形を描け．
(3)$y=g(x)$の逆関数$y=g^{-1}(x)$を求め，そのグラフの概形を描け．
(4)$\displaystyle \int_0^1 (g^{-1}(x))^2 \, dx$を計算せよ．
(5)$y=g^{-1}(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で微分可能であることを示せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点$\mathrm{M}$は$\mathrm{AM}=\mathrm{BM}=1$を満たす．内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$t$とする．

(1)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}$となるとき，$t$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の周の長さ$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)直径$1$の球を球の中心から距離$a$の平面で切って二つの部分に分け \\
たとき，中心を含まない部分の体積を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$ \\
とする．
(2)$1$辺の長さが$1$である立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える．この立方体に \\
内接する球と正四面体$\mathrm{ACFH}$との共通部分の体積を求めよ．
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$xy$平面上の曲線$C$は媒介変数$\theta$を用いて
\[ x=\frac{2}{3}\sqrt{3}\cos \theta+\frac{\sqrt{6}}{3}\sin \theta,\quad y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cos \theta-\frac{\sqrt{6}}{3}\sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
と表される．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$を表す$x$と$y$の関係式を求め，$xy$平面に図示せよ．
(2)点$(2,\ 0)$から曲線$C$に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $m,\ n$が自然数ならば，$\displaystyle \frac{m}{n} \neq \sqrt{2}$である．このことを証明せよ．
(ii) $p,\ q$が自然数ならば，$\sqrt{2}$は$\displaystyle \frac{p}{q}$と$\displaystyle \frac{2q}{p}$の間にある．すなわち，$\displaystyle \frac{p}{q}<\sqrt{2}<\frac{2q}{p}$または$\displaystyle \frac{2q}{p}<\sqrt{2}<\frac{p}{q}$が成り立つ．このことを証明せよ．

(2)定数$a$は実数で，$a>0,\ a \neq 1$とする．このとき，すべての正の実数$x,\ y$に対して$x^{\log_ay}=y^{\log_ax}$が成り立つ．このことを証明せよ．

確率変数$X$のとる値の範囲が$0 \leqq X \leqq 2$で，その確率密度関数$f(x)$が次の式で与えられるものとする．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{k}{a}x & (0 \leqq x \leqq a) \\
\displaystyle\frac{k}{2-a}(2-x) & (a<x \leqq 2)
\end{array} \right. \]
ここで，$a,\ k$は$0<a<1,\ k>0$を満たす定数である．次の各問いに答えよ．

(1)定数$k$の値を求めよ．
(2)$X$の平均（期待値）$E(X)$を$a$を用いて表せ．
(3)$P(X \leqq u)=0.5$となる実数$u$を$a$を用いて表せ．

$xy$平面上に$2$つの曲線
\[ \begin{array}{llll}
C_1: & y=\tan x+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} & & \displaystyle\left( -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \right) \\
C_2: & \displaystyle y=\sqrt{3}k \left( \cos 2x-\frac{1}{2} \right) & & \displaystyle\left( -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \right)
\end{array} \]
がある．ただし$k$は実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$t=\tan x$とおく．$\cos 2x$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle k=-\frac{4}{3}$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点の個数が$1$になるときの$k$の範囲を求めよ．

曲線$C:y=x-1+2 \sqrt{x-1}$に点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$から接線$\ell$を引く．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

下図のように，$1$から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列$A_1$，$A_2$，$A_3$，$\cdots$がある．正三角形$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の右下隅にある碁石の番号を$a_n$とし，$A_n$中のすべての碁石の番号の和を$S_n$とする．

（例$a_1=3,\ a_2=8,\ a_3=16,\ S_2=4+5+6+7+8+9=39$）
（図は省略）
(1)$a_n$の一般項を求めよ．
(2)$S_n$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}\sum_{k=1}^n k \left( S_k-\frac{3}{2}k \right)$を，ある関数の定積分を用いて表し，この極限値を求めよ．