「分数」について
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国立 山形大学 2013年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$は，$\angle \mathrm{AOB}=90^\circ$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす．$3$辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$を$t:(1-t) \ (0<t<1)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{CE}}|^2$を$t$の式で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を示せ．
(4)$\triangle \mathrm{CDE}$の面積を$S(t)$とする．
(i) $\displaystyle S(t)=\frac{3t^2-3t+1}{2}$を示せ．
(ii) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{CE}}|^2$を$t$の式で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を示せ．
(4)$\triangle \mathrm{CDE}$の面積を$S(t)$とする．
(i) $\displaystyle S(t)=\frac{3t^2-3t+1}{2}$を示せ．
(ii) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2 \ (x \geqq 0)$の逆関数を$f^{-1}(x)$とする．$xy$平面上に$2$曲線$C_1:y=f(x)$と$C_2:y=f^{-1}(x)$がある．次の問いに答えよ．
(1)$2$曲線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$a \geqq 2$とする．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{a^2}{2} \right)$における接線を$\ell_1$，曲線$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{a^2}{2},\ a \right)$における接線を$\ell_2$とし，$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．
(i) $\tan \theta$を$a$の式で表せ．
(ii) $\displaystyle \lim_{a \to \infty} \sin^2 \theta$を求めよ．
(1)$2$曲線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$a \geqq 2$とする．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{a^2}{2} \right)$における接線を$\ell_1$，曲線$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{a^2}{2},\ a \right)$における接線を$\ell_2$とし，$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．
(i) $\tan \theta$を$a$の式で表せ．
(ii) $\displaystyle \lim_{a \to \infty} \sin^2 \theta$を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第4問行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{3}{2} & -1 \\
1 & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
p & -2 \\
1 & q
\end{array} \right),\quad J=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & 1 \\
0 & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right) \]
が$AB=BJ$を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$p,\ q$は定数であり，以下で用いる$n$は自然数である．
(1)$p,\ q$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle J^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc}
1 & 2n \\
0 & 1
\end{array} \right)$を示せ．
(3)$\displaystyle A^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc}
1+2n & -2n \\
2n & 1-2n
\end{array} \right)$を示せ．
(4)行列$A^n$の表す$1$次変換により，$xy$平面上の点$(p,\ 1)$，$(-2,\ q)$が，それぞれ点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$に移される．原点を$\mathrm{O}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}_n$のなす角を$\theta_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\cos \theta_n$を求めよ．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{3}{2} & -1 \\
1 & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
p & -2 \\
1 & q
\end{array} \right),\quad J=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & 1 \\
0 & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right) \]
が$AB=BJ$を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$p,\ q$は定数であり，以下で用いる$n$は自然数である．
(1)$p,\ q$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle J^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc}
1 & 2n \\
0 & 1
\end{array} \right)$を示せ．
(3)$\displaystyle A^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc}
1+2n & -2n \\
2n & 1-2n
\end{array} \right)$を示せ．
(4)行列$A^n$の表す$1$次変換により，$xy$平面上の点$(p,\ 1)$，$(-2,\ q)$が，それぞれ点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$に移される．原点を$\mathrm{O}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}_n$のなす角を$\theta_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\cos \theta_n$を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第2問座標平面上に原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，位置ベクトル$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は垂直であるとする．$\overrightarrow{a}=\sqrt{5}\overrightarrow{p}-2 \overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{b}=2 \sqrt{5}\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$とおく．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$であるとき，次の問に答えよ．
(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{q}|}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$の値を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$が放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$上にあり，点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ．
(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{q}|}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$の値を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$が放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$上にあり，点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第3問公差が$0$でない等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，${a_5}^2+{a_6}^2={a_7}^2+{a_8}^2$，$S_{13}=13$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第1問座標平面上に原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，位置ベクトル$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は垂直であるとする．$\overrightarrow{a}=\sqrt{5}\overrightarrow{p}-2 \overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{b}=2 \sqrt{5}\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$とおく．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$であるとき，次の問に答えよ．
(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{q}|}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$の値を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$が放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$上にあり，点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ．
(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{q}|}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$の値を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$が放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$上にあり，点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第2問公差が$0$でない等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，${a_5}^2+{a_6}^2={a_7}^2+{a_8}^2$，$S_{13}=13$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第3問$n$を$2$以上の自然数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx$を求めよ．
(2)関数$y=\log x$の定積分を利用して，次の不等式を証明せよ．
\[ (n-1)! \leqq n^n e^{-n+1} \leqq n! \]
(3)極限値
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log (n!)}{n \log n} \]
を求めよ．
(1)$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx$を求めよ．
(2)関数$y=\log x$の定積分を利用して，次の不等式を証明せよ．
\[ (n-1)! \leqq n^n e^{-n+1} \leqq n! \]
(3)極限値
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log (n!)}{n \log n} \]
を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第2問公差が$0$でない等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，${a_5}^2+{a_6}^2={a_7}^2+{a_8}^2$，$S_{13}=13$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
国立 東京農工大学 2013年 第2問$xyz$空間に点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 5)$がある．次の問いに答えよ．
(1)球面$x^2+y^2+(z-2)^2=9$と平面$\displaystyle x=\frac{1}{2}$が交わってできる円を$C$とする．$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$上に点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{1}{2},\ s,\ t \right)$をとったとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線と$xy$平面との交点を$\mathrm{R}(X,\ Y,\ 0)$とする．$X,\ Y$それぞれを$s,\ t$の式で表せ．
(3)$\mathrm{Q}$が$C$上のすべての点を動くとき，$\mathrm{R}$が描く曲線を$C^\prime$とする．$C^\prime$の長さ$L$を求めよ．
(1)球面$x^2+y^2+(z-2)^2=9$と平面$\displaystyle x=\frac{1}{2}$が交わってできる円を$C$とする．$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$上に点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{1}{2},\ s,\ t \right)$をとったとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線と$xy$平面との交点を$\mathrm{R}(X,\ Y,\ 0)$とする．$X,\ Y$それぞれを$s,\ t$の式で表せ．
(3)$\mathrm{Q}$が$C$上のすべての点を動くとき，$\mathrm{R}$が描く曲線を$C^\prime$とする．$C^\prime$の長さ$L$を求めよ．