数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，$\displaystyle a_1=1,\ b_1=0,\ a_{n+1}=\frac{1}{4}a_n-\frac{\sqrt{3}}{4}b_n,\ b_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}a_n+\frac{1}{4}b_n$によって定め，座標が$(a_n,\ b_n)$である点を$\mathrm{C}_n$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．

座標平面上に，直線$\displaystyle y=\frac{4}{3}x$と$y$軸の両方に接する円$C$がある．その円$C$の中心の座標を$(a,\ b)$とする．ただし，$a>0$かつ$b<0$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 3)$と点$(a,\ b)$を通る直線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点の座標を$(t,\ 0)$とおく．このとき，$t$を$a$を用いて表せ．また，$a \to \infty$のときの$t$の極限値を求めよ．

$n$を$9$以上の自然数とする．袋の中に$n$個の球が入っている．このうち$6$個は赤球で残りは白球である．この袋から$6$個の球を同時に取り出すとき，$3$個が赤球である確率を$P_n$とする．

(1)$P_{10}$を求めなさい．
(2)$\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_{n}}$を求めなさい．
(3)$P_n$が最大となる$n$を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\tan \frac{x}{2}$とおくとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ (ⅰ) \sin x=\frac{2t}{1+t^2} \quad (ⅱ) \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \quad (ⅲ) \tan x=\frac{2t}{1-t^2} \]
(2)$a,\ b$を実数とする．$x$を未知数とする方程式$a \sin x+b \cos x+1=0$が，$-\pi<x<\pi$の範囲に相異なる二つの解をもつとする．

(i) $a,\ b$の満たすべき条件を求めよ．
(ii) 二つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \tan \frac{\alpha+\beta}{2}$を$a,\ b$を用いて表せ．

(3)次の定積分を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x+\cos x+1} \, dx \]

曲線$y=x^2$の上を動く点$\mathrm{P}(x,\ y)$がある．この動点の速度ベクトルの大きさが一定$C$のとき，次の問いに答えよ．ただし，動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は時刻$t$に対して$x$が増加するように動くとする．

(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$を$x$で表せ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$の加速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{\alpha}=\left( \frac{d^2x}{dt^2},\ \frac{d^2y}{dt^2} \right)$を$x$で表せ．
(3)半径$r$の円$x^2+(y-r)^2=r^2$上を速度ベクトルの大きさが一定$C$で動く点$\mathrm{Q}$があるとき，この加速度ベクトルの大きさを求めよ．
(4)動点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の原点$(0,\ 0)$での加速度ベクトルの大きさが等しくなるときの半径$r$を求めよ．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$の，直線$y=mx$と平行な$2$接線を$\ell_1$，$\ell_1^\prime$とし，$\ell_1$，$\ell_1^\prime$に直交する$C$の$2$接線を$\ell_2$，$\ell_2^\prime$とする．

(1)$\ell_1$，$\ell_1^\prime$の方程式を$m$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_1^\prime$の距離$d_1$および$\ell_2$と$\ell_2^\prime$の距離$d_2$をそれぞれ$m$を用いて表せ．ただし，平行な$2$直線$\ell$，$\ell^\prime$の距離とは，$\ell$上の$1$点と直線$\ell^\prime$の距離である．
(3)$(d_1)^2+(d_2)^2$は$m$によらず一定であることを示せ．
(4)$\ell_1$，$\ell_1^\prime$，$\ell_2$，$\ell_2^\prime$で囲まれる長方形の面積$S$を$d_1$を用いて表せ．さらに$m$が変化するとき，$S$の最大値を求めよ．

ある種の粒子は出現して$1$時間後に次のように変化する．

確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で$2$個の新しい粒子になる．

確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$1$個の新しい粒子になる．

確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で消滅する．

$1$個の粒子から始まるものとして，次の問いに答えよ．

(1)$2$時間後に粒子が$2$個になっている確率を求めよ．
(2)$3$時間後に粒子が$5$個になっている確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$時間後に最大でいくつの粒子があるか．その個数と，そうなる確率を$n$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$つの循環小数$a=1. \dot{2}$，$b=0. \dot{8} \dot{1}$に対して，$ab$の値を求めよ．
(2)$a$を定数とする．$xy$平面上の曲線$y=\log_2x$と直線$y=x+a$は$2$つの共有点をもつ．共有点の$x$座標$x_1,\ x_2$が$x_2=4x_1$を満たすように，$a$の値を定めよ．
(3)$xy$平面において，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ (x>0)$と直線$\displaystyle y=-x+\frac{10}{3}$の$2$つの共有点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$が$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$を満たすとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を求めよ．

$\tan \alpha=2$，$\tan \beta=5$，$\displaystyle 0<\alpha,\ \beta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$上で関数
\[ f(x)=\sin (\alpha+\beta+x)+\cos (\alpha+\beta+x) \]
を考える．

(1)$\sin (\alpha+\beta),\ \cos (\alpha+\beta)$を求めよ．
(2)$\tan (\alpha+\beta+x)$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(4)$f(x)$が最小となるときの$x$を$\gamma$とする．$\alpha+\beta+\gamma,\ \tan \gamma$を求め，$\beta-\alpha>\gamma-\beta$となることを示せ．
(5)$\displaystyle \beta>\frac{5\pi}{12}$となることを示せ．

$2$つの放物線$C_1:y=-2x^2$，$C_2:y=-x^2+2x-35$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C_1$と放物線$C_2$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(2)$a$を実数とする．点$(a,\ -a^2+2a-35)$における放物線$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(3)放物線$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)$(1)$で求めた交点の$x$座標を$b,\ c \ (b<c)$とする．また，$b \leqq a \leqq c$とする．このとき，放物線$C_1$と放物線$C_2$および$(2)$で求めた接線で囲まれた図形の面積が$\displaystyle \frac{352}{3}$となるような$a$の値を求めよ．