下の問いに答えよ．

(1)方程式$x \cos x=\sin x$は$\displaystyle \frac{4\pi}{3}<x<2\pi$の範囲にただ$1$つの解をもつことを示せ．
(2)(1)の解を$\alpha$とおくとき，$0<x<2\pi$において不等式
\[ \frac{\sin x}{x} \geqq -\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}}>-\frac{3}{4\pi} \]
が成り立つことを示せ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2 \sin x} \ (0<x<\pi)$について以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．さらに，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
(3)$0<x<\pi$のとき，
\[ \frac{d}{dx}\{\log (1-\cos x)-\log (1+\cos x)\} \]
を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi}f(x) \, dx$を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上を運動する点$\mathrm{P}(x,\ y)$が
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
で表されるとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．（$C$は右図のように \\
なっている．）以下の各問に答えよ．
\img{85_2188_2013_1}{40}


(1)曲線$C$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，(2)の接線$\ell$の傾きが負になる$t$の範囲を求めよ．
(4)$t$が(3)で求めた範囲にあるとき，$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OPR}$の面積をそれぞれ$S$と$T$とする．$c=\cos t$として，$S,\ T$をそれぞれ$c$を用いて表せ．
(5)(4)の$S$と$T$について$S=T$が成り立つとき，直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めよ．

$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}$とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とおく．また，$2$次の単位行列を$E$で表す．以下の各問に答えよ．

(1)$A^3=E$を示せ．
(2)$r$を実数とする．自然数$k$に対して，行列$(rA)^{3k}+(rA)^{3k+1}+(rA)^{3k+2}$の$(1,\ 1)$成分を$a_k$とおくとき，$a_k$を$r$を用いて表せ．
(3)自然数$N$に対して$\displaystyle x_N=2 \sum_{k=0}^N a_k$とする．ただし$a_k$は，$k \geqq 1$のときは(2)で定めたものとし，$k=0$のときは$\displaystyle a_0=1-\frac{1}{2}r-\frac{1}{2}r^2$とおく．$-1<r<1$のとき，$\displaystyle f(r)=\lim_{N \to \infty}x_N$を求めよ．
(4)$r$が$-1<r<1$の範囲を動くとき，(3)で定めた$f(r)$のとりうる値の範囲を求めよ．

関数$\displaystyle y=\frac{e^x}{e^x+e^{-x}}$について以下の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle I=\int_{-1}^1 y \, dx$を求めよ．

以下では，$n$は自然数とする．

(2)$\displaystyle I_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y \, dx$を求めよ．

(3)$\displaystyle J_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y(1-y) \, dx$を求めよ．

(4)$\displaystyle K_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y^2 \, dx$とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}K_n$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，
\[ (\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos (n \theta)+i \sin (n \theta) \]
が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法により証明せよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2)$\cos (n \theta)=0$をみたすような$\theta$をすべて求めよ．
(3)$t=\cos \theta$とする．(1)の等式を使って，$\cos 5 \theta=f(t)$をみたす多項式$f(t)$を求めよ．
(4)$f(t)=0$のすべての解を$\cos \alpha \ (0 \leqq \alpha \leqq \pi)$の形で表せ．また，それらを大きい順に並べよ．
(5)$\displaystyle \cos \frac{3}{10}\pi$を求めよ．

座標平面上の$2$つの直線$\ell,\ m$を，それぞれ
\[ \ell:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\quad m:y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x \]
とし，$\ell$上に点$\mathrm{A}(\sqrt{3}s,\ s)$を，$m$上に点$\mathrm{B}(\sqrt{3}t,\ -t)$をとる． \\
ただし，$s>0$，$t>0$とする．さらに，正三角形$\mathrm{ABC}$を，頂点$\mathrm{C}$が直線$\mathrm{AB}$に関して原点$\mathrm{O}$と同じ側になるように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
\img{178_2358_2013_1}{50}


(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一円周上にあることを示し，点$\mathrm{C}$が$y$軸上にあることを証明せよ．
(2)点$\mathrm{C}$の$y$座標を$s,\ t$の式で表せ．
(3)点$\mathrm{D}(X,\ Y)$を，直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点とする．このとき，$X$と$Y$をそれぞれ$s,\ t$の式で表せ．
(4)線分$\mathrm{AB}$の長さを$s,\ t$の式で表せ．
(5)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が線分$\mathrm{AB}$の長さを$\sqrt{3}$に保ちながら動くとき，点$\mathrm{D}$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．

以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\mathrm{BC}$となる点$\mathrm{D}$をとることができるとき，$\displaystyle \sin \frac{A}{2}$はいくらか．
(2)実数の組$(x,\ y)$が連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq \displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{2}}
\end{array} \right.$を満たすとき，$\sqrt{2}x+y$の最大値と最小値を求めよ．
(3)座標空間の$2$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -1)$，$\mathrm{B}(4,\ 2,\ 4)$を通る直線$\ell_1$上にあり，原点までの距離が$34$の点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{C}$の$x$座標は正とする）．点$\mathrm{A}$を通り方向ベクトル$\overrightarrow{h}=(4,\ -3,\ -5)$をもつ直線を$\ell_2$とする．このとき，$\mathrm{C}$と$\ell_2$を含む平面において，$\ell_2$に関して$\mathrm{C}$と対称な点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=2 \sin \left( \frac{1}{2} \left( x+\frac{\pi}{3} \right) \right) \quad (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$と$y$軸との交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$のグラフを描け．
(4)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を結んだ直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の式が成り立つことを示せ．
\[ \sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2 \cos \alpha \sin \beta \]
(2)自然数$n$に対して，
\[ 2 \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta \sin \theta=\sin (2n+1)\theta-\sin \theta \]
が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ \tan \frac{\pi}{4n}=\frac{1}{1+2 \sum_{k=1}^n \cos \displaystyle\frac{k\pi}{2n}} \]
が成り立つことを示せ．