$s,\ t$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
s & t
\end{array} \right)$は逆行列$A^{-1}$をもち，$A^{-1}=A$であるとする．

(1)$s,\ t$の値を求めよ．
(2)行列$A$は直線$y=mx$（$m$は実数）に関する対称移動を表している．$m$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^3+ax^2+bx+c$で定義される曲線$y=f(x)$は，$3$点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$，$(-2,\ 0)$を通る．また，曲線$y=f(x)$を$x$軸方向に$1$だけ移動した曲線を$y=g(x)$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は実数とする．次の各問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$の増減表を作り，そのグラフの概形を図示しなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と円$x^2+y^2=4$のすべての交点を求めなさい．
(4)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq f(x) \\
y \geqq g(x)
\end{array} \right. \]
で示される領域を図示し，この領域の面積を求めなさい．

関数$f(x)=\log x$がある．曲線$y=f(x)$の点$(t,\ \log t)$における接線の方程式を$y=g(x)$とするとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$f(x)-g(x) \leqq 0$を証明せよ．

(2)$\displaystyle t>\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}f(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}g(x) \, dx$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(3)自然数$n$に対して，$n!$と$\displaystyle \sqrt{2} \left( n+\frac{1}{2} \right)^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$の大小を比較せよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$つの野球チームが戦い，先に$4$勝したチームを優勝とする．引き分けはないものとし，各試合で$\mathrm{A}$チームが$\mathrm{B}$チームに勝つ確率は$\displaystyle \frac{3}{5}$とする．次の各問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$チームが$4$勝$1$敗で優勝する確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームが最初の$2$試合で負けてしまった．その後，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
(3)$4$試合が終わって$\mathrm{A}$チームの$1$勝$3$敗になった．その後，どちらかのチームの優勝が決定するまでの残り試合数の期待値を求めよ．

平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$があり，その面積は$S$である．辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{10}S$のとき$t$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)関数$f(x)=\log_a (ax)$を微分せよ．ただし，$a>0$かつ$a \neq 1$とする．

(2)関数$\displaystyle g(x)=\int_1^{x^2+1}t^2(t-1)^5 \, dt$を微分せよ．

(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1-x}{1+x} \, dx$を求めよ．

(4)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\log \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx$を求めよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$があり，その面積は$S$である．辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．以下の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{10}S$のとき，$t$の値を求めよ．

連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\quad -\cos x \leqq y \leqq \sin 2x \]
の表す領域を$D$とする．以下の各問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)領域$D$の面積を求めよ．
(3)領域$D$を$x$軸のまわりに$1$回転したときにできる立体の体積を求めよ．

$f(x)=x^3-x+5$として，曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における$C$の接線を$\ell$，法線を$n$とする．以下の各問に答えよ．ただし，点$\mathrm{P}$における$C$の法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，かつ点$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線のことである．

(1)$\ell,\ n$の方程式をそれぞれ求めよ．
(2)$\ell$と$C$の共有点で，$\mathrm{P}$以外のものの個数を求めよ．
(3)$\displaystyle |a|<\frac{1}{\sqrt{3}}$のときには，$n$と$C$との共有点が$\mathrm{P}$以外にも存在することを示せ．

数列$\{a_n\}$は$a_n>0$かつ$a_1=3$であるとする．初項から第$n$項までの和$S_n$について，
\[ S_{n+1}+S_n=\frac{1}{3}(S_{n+1}-S_n)^2 \]
が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)$S_2$と$S_3$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$のみたす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{S_n\}$の一般項を求めよ．