$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -a \\
-b & b
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，$n$を自然数とする．また，
\[ E+A+A^2+\cdots +A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right) \]
とおく．

(1)$A^2=cA$となる定数$c$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)行列$A^n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$は正の数で$a+b<1$を満たす．$p_n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle a=\frac{1}{2},\ b=\frac{1}{3}$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．

座標平面において，点$(0,\ 5)$を通り，直線$y=x$と点$(a,\ a)$で接する円$C$について，次の問いに答えよ．

(1)点$(0,\ 5)$と直線$y=x$と点$(a,\ a)$がかかれているとき，コンパスと目盛りのない定規を用いて，円$C$を作図する手順を説明せよ．
(2)円$C$の方程式を求めよ．
(3)円$C$の中心の座標を$(s,\ t)$とするとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}(s+t)$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{2}(-s+t)$とおく．このとき，$a$の値が変化するときの点$(x,\ y)$の軌跡を座標平面に図示せよ．

座標平面において，点$\mathrm{P}_0$を原点として，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\cdots$を \\
下図のようにとっていく（点線は$x$軸と平行）．ただし， \\
$\displaystyle \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n=\frac{1}{2^{n-1}} \ (n \geqq 1),\ 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき， \\
次の問いに答えよ．
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(1)$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\cdots +\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n+\cdots$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}_n$の座標を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(3)$n$を限りなく大きくするとき，点$\mathrm{P}_n$はどのような点に近づくか，その点の座標を求めよ．

関数$f(x)=x^3e^{-9x}$と実数$a$に対して，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で，$f(x)=a$をみたす実数$x$の個数を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{5}{3}\pi \leqq \theta \leqq \frac{5}{3}\pi$の範囲で，$f(\cos \theta)=a$をみたす実数$\theta$がちょうど$6$個存在するような$a$の範囲を求めよ．

$0<\theta \leqq \pi$に対して$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とおく．$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の問に答えよ．

(1)$A^n$を求めよ．
(2)$S_n=E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}$とおくとき，$S_n=P(A^n-E)$となる行列$P$を求めよ．ここで，$E$は単位行列である．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{n}$のとき，$1+\cos \theta+\cos 2\theta+\cdots +\cos n\theta$を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{\log x}{x}$について，次の問に答えよ．

(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$C$の変曲点$\mathrm{P}$における，$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\ell$と$C$は，$\mathrm{P}$以外に共有点をもたないことを示せ．

$x$が$3<x<6$の範囲にあるとき，次の問に答えよ．

(1)この範囲ではつねに$\displaystyle \frac{1}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq 3$が成立することを示せ．

(2)この範囲でつねに$\displaystyle \frac{5}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq a$が成立するような$a$の最大値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle a+\frac{1}{a}=b+\frac{1}{b}$が成り立つとき，$a$を$b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\frac{y}{8}+\frac{8}{y}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$をみたす実数$x,\ y$の組をすべて求めよ．

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n} \tan \frac{1}{2^n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$のとき，等式$\displaystyle \frac{1}{2}\tan \theta=\frac{1}{2 \tan \theta}-\frac{1}{\tan 2\theta}$を示せ．
(2)(1)を用いて，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$の和を求めよ．

$\alpha>1$とする．曲線$C:y=x^\alpha \ (x>0)$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^\alpha)$における$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，$x$軸上に点$\mathrm{R}$を$\mathrm{PR}=\mathrm{PQ}$をみたすようにとる．ただし，点$\mathrm{R}$の$x$座標は点$\mathrm{P}$の$x$座標より小さいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．
(3)$x$軸と直線$\mathrm{RP}$のなす鋭角を$\theta$とするとき，$\displaystyle \lim_{p \to \infty}\theta=\frac{\pi}{4}$をみたす$\alpha$の値を求めよ．