$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がいる．投げたときに表裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインが$1$枚あり，最初は$\mathrm{A}$がそのコインを持っている．次の操作を繰り返す．

(i) $\mathrm{A}$がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点を与え，コインは$\mathrm{A}$がそのまま
持つ．裏が出れば，両者に点を与えず，$\mathrm{A}$はコインを$\mathrm{B}$に渡す．
(ii) $\mathrm{B}$がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与え，コインは$\mathrm{B}$がそのまま
持つ．裏が出れば，両者に点を与えず，$\mathrm{B}$はコインを$\mathrm{A}$に渡す．

そして$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のいずれかが$2$点を獲得した時点で，$2$点を獲得した方の勝利とする．たとえば，コインが表，裏，表，表と出た場合，この時点では$\mathrm{A}$は$1$点，$\mathrm{B}$は$2$点を獲得しているので$\mathrm{B}$の勝利となる． \\
$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$あわせてちょうど$n$回コインを投げ終えたときに$\mathrm{A}$の勝利となる確率$p(n)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)自然数$n$について$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=1,\quad a_n=\frac{a_{n-1}}{(4n+3)a_{n-1}+5} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，数列$\{b_n\}$の漸化式を求めよ．
(2)(1)の$b_n$を用いて$c_n=b_{n+1}-b_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$4$次方程式$x^4+ax^3+14x^2+16x+b=0$が$x=-2$を$2$重解としてもつとき，定数$a,\ b$の値と他の解を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

点$\mathrm{A}(a,\ 0)$と楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{3}+y^2=1$を考える．点$\mathrm{A}$と楕円$C$上の点$\mathrm{P}(u,\ v)$との距離を$d$とする．ただし，$a$は正の定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$d$を$u$の式で表せ．
(2)$d$の最小値を求めよ．また，そのときの$u$の値を求めよ．

$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を実数の定数とする．$2$曲線$y=x^2$と$\displaystyle y=\frac{4}{x+a}$がちょうど$2$つの共有点を持っているとき，下の問いに答えなさい．

(1)$a$の値を求めなさい．
(2)$2$曲線で囲まれた図形の面積を求めなさい．

$2$チームが試合をする．$1$回の試合で一方が勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けは起こらないとする．先に$4$勝したチームを優勝とするとき，下の問いに答えなさい．

(1)第$4$試合で優勝が決まる確率を求めなさい．
(2)第$7$試合で優勝が決まる確率を求めなさい．
(3)$2$チームの勝ち数の差が，優勝が決まるまで常に$1$以下である確率を求めなさい．ただし，「$2$チームの勝ち数の差が$\cdots$常に$1$以下」とは「優勝決定時も含めて勝ち数の差は$1$以下」という意味である．

関数$\displaystyle f(x)=\log (x+1)-\frac{1}{2}\log (x^2+1) \ (x>-1)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．
(2)$k$を実数とする．$x$についての方程式$f(x)=k$の相異なる実数解の個数を調べよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=1$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．