座標平面上に点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (0<\theta<\pi)$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -1< \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} \leqq \frac{1}{2}$となる$\theta$の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で定める．点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．$\theta$が(1)で求めた範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{POQ}$の面積の最大値を求めよ．

関数$f(x)=\log_2 (x+1)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)$0$以上の整数$k$に対して，$\displaystyle f(x)=\frac{k}{2}(f(1)-f(0))$を満たす$x$を$k$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた$x$を$x_k$とおく．$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n k(x_k-x_{k-1})$を$n$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$x \geqq 2$のとき，$x^4e^{-3x} \leqq 16e^{-6}$を示せ．また，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^3e^{-3x}$を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$x>0$の範囲で方程式
\[ xe^{-3x}=\frac{k}{x^2} \]
がちょうど$2$つの解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$の$\alpha,\ \beta$が$\beta=2 \alpha$を満たすとき，曲線$y=xe^{-3x} (x>0)$と曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x^2} (x>0)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上に2点$\mathrm{P}(\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{Q}(\cos \theta,\ 1-\sin \theta)$がある．次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$を$\theta$で表せ．

(2)$\displaystyle \frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$を用いて，$\displaystyle \sin \frac{7\pi}{12}$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \pi$における$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．

正の実数$a,\ b$に対して，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
ax+y \leqq 6 \\
0 \leqq x \leqq b \\
0 \leqq y
\end{array}
\right. \]
次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a=\frac{3}{2},\ b=3$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$5x+2y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(2)$a=1,\ b=9$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$2x+y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)$ab=9$であり，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くときの$2x+y$の最大値が$16$であるとする．このとき，$a,\ b$の値を求めよ．

$a$を実数とし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -4 \\
-\displaystyle\frac{3a}{4} & 2
\end{array} \right)$は$A^3=-a^2E$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6$を求めよ．
(3)$A+A^2+A^3+\cdots +A^{2011}+A^{2012}+A^{2013}$を求めよ．

平面上の2つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$はそれぞれの大きさが1であり，また平行でないとする．次の問いに答えよ．

(1)$t \geqq 0$であるような実数$t$に対して，不等式
\[ 0<|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2 \leqq (1+t)^2 \]
が成立することを示せ．
(2)$t \geqq 0$であるような実数$t$に対して$\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{2t^2 \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2}$とおき，$f(t)=|\overrightarrow{p}|$とする．このとき，不等式
\[ f(t) \geqq \frac{2t^2}{(1+t)^2} \]
が成立することを示せ．
(3)$f(t)=1$となる正の実数$t$が存在することを示せ．

微分可能な関数$f(x)$が，すべての実数$x,\ y$に対して
\[ f(x)f(y)-f(x+y)=\sin x \sin y \]
を満たし，さらに$f^\prime(0)=0$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$f(0)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{f(x)}$を求めよ．

正の実数$a,\ b$に対して，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
ax+y \leqq 6 \\
0 \leqq x \leqq b \\
0 \leqq y
\end{array}
\right. \]
次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a=\frac{3}{2},\ b=3$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$5x+2y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{2},\ b=6$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$3x+y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)$a=5$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$4x+y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．

正の整数$n$に対して$a_n=\sqrt{1+n^2}-n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{2n+1}<a_n<\frac{1}{2n}$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$a_n>a_{n+1}$が成り立つことを示せ．
(3)$a_n<0.03$となる最小の正の整数$n$を求めよ．