$\alpha,\ \beta$を実数とする．$xy$平面内で，点$(0,\ 3)$を中心とする円$C$と放物線
\[ y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta \]
が点$\mathrm{P}(\sqrt{3},\ 0)$を共有し，さらに$\mathrm{P}$における接線が一致している．このとき以下の問に答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)円$C$，放物線$\displaystyle y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^2 \left( |t^2-xt|+\frac{1}{2}|t-2x| \right) \, dt \]
で定める．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を求めよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を
\[ a_n=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}e^{n \sin \theta} \, d\theta,\quad b_n=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}e^{n \sin \theta}\cos \theta \, d\theta \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)一般項$b_n$を求めよ．
(2)すべての$n$について，$\displaystyle b_n \leqq a_n \leqq \frac{2}{\sqrt{3}}b_n$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \log (na_n)$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

半径1の円を底面とする高さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$の直円柱がある．底面の円の中心を$\mathrm{O}$とし，直径を1つ取り$\mathrm{AB}$とおく．$\mathrm{AB}$を含み底面と$45^\circ$の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき，体積の小さい方の部分を$V$とする．

(1)直径$\mathrm{AB}$と直交し，$\mathrm{O}$との距離が$t \ (0 \leqq t \leqq 1)$であるような平面で$V$を切ったときの断面積$S(t)$を求めよ．
(2)$V$の体積を求めよ．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす$\theta$に対し，$xy$平面の第1象限の点$\mathrm{P}$および$x$軸の正の部分にある点$\mathrm{Q}$を
\[ \angle \mathrm{QOP}=\theta,\quad \angle \mathrm{PQO}=2\theta,\quad \mathrm{PQ}=1 \]
を満たすようにとる．$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$の範囲を動くとき，$\mathrm{P}$の軌跡を$C_1$，$\mathrm{R}$の軌跡を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$C_1,\ C_2$を求め，それらを図示せよ．
(3)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

2次の正方行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array} \right)$で定める．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$を関係式
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$x_0=1,\ y_0=0$とする．

(1)$A^4$を求めよ．
(2)$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=(E-A^{n+1})(E-A)^{-1} \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right) \]
が成り立つことを示せ．ただし，$E$は2次の単位行列とする．
(3)原点$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}_n$までの距離$\mathrm{OP}_n$が最大となる$n$を求めよ．

$a$と$b$を正の実数とする．$\displaystyle y=a \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_1$，$\displaystyle y=b \sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．このとき，$\sin t$および$\cos t$を$a$と$b$で表せ．
(2)$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれた領域の面積$S$を$a$と$b$で表せ．
(3)$C_1,\ C_2$と直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた領域の面積を$T$とする．このとき，$T=2S$となるための条件を$a$と$b$で表せ．

実数$x,\ y,\ s,\ t$に対し，$z=x+yi,\ w=s+ti$とおいたとき，
\[ z=\frac{w-1}{w+1} \]
をみたすとする．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)$w$を$z$で表し，$s,\ t$を$x,\ y$で表せ．
(2)$0 \leqq s \leqq 1$かつ$0 \leqq t \leqq 1$となるような$(x,\ y)$の範囲$D$を座標平面上に図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$を動いたとき，$-5x+y$の最小値を求めよ．

区間$-\infty<x<\infty$で定義された連続関数$f(x)$に対して
\[ F(x)=\int_0^{2x}tf(2x-t) \,dt \]
とおく．

(1)$\displaystyle F \left( \frac{x}{2} \right)=\int_0^x (x-s)f(s) \,ds$となることを示せ．
(2)$2$次導関数$F^{\prime\prime}$を$f$で表せ．
(3)$F$が$3$次多項式で$F(1)=f(1)=1$となるとき，$f$と$F$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を区間$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続関数とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \int_0^\pi xf(\sin x) \, dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x) \, dx \]
(2)$a>1$とする．(1)を用いて，積分
\[ \int_0^\pi \frac{x(a^2-4 \cos^2 x)\sin x}{a^2-\cos^2 x} \, dx \]
を求めよ．