以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を相異なる実数とする．$x,\ y,\ z$に関する連立$3$元$1$次方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x-ay+a^2z=a^4 \\
x-by+b^2z=b^4 \\
x-cy+c^2z=c^4
\end{array} \right. \]
を解きたい．その解を基本対称式
\[ \begin{array}{l}
A=a+b+c \\
B=ab+bc+ca \\
C=abc
\end{array} \]
を用いて表せ．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$をとる．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の内心を求めよ．
(3)行列$A$を
\setstretch{2.5}
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}
\end{array} \right) \]
\setstretch{1.4}
とおく．このとき，行列の和
\[ A+A^2+\cdots +A^7+A^8 \]
を，（簡潔な形で）求めよ．

ある開区間$D$で与えられた関数$f(x)$は，$2$階微分可能で，第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は連続で，更に$f^{\prime\prime}(x)<0$と仮定する．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1<a_2<a_3$を満たす$D$の$a_1,\ a_2,\ a_3$に対して
\[ \frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}>\frac{f(a_3)-f(a_2)}{a_3-a_2} \]
を示せ．
(2)$x_1,\ x_2$を$D$の実数とする．$0 \leqq \alpha \leqq 1$を満たす$\alpha$に対して
\[ f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2) \geqq \alpha f(x_1)+(1-\alpha) f(x_2) \]
を示せ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_3$を$D$の実数とする．$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3 \geqq 0$及び$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=1$を満たす$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$に対して
\[ f(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\alpha_3 x_3) \geqq \alpha_1 f(x_1)+\alpha_2 f(x_2)+\alpha_3 f(x_3) \]
を示せ．
(4)$D=(0,\ \infty)$とする．上の議論を用いて，$D$の$x_1,\ x_2,\ x_3$に対して不等式
\[ \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \geqq \sqrt[3]{x_1x_2x_3} \]
を示せ．

$n$を$4$以上の整数とする．$1$番から$n$番までの番号がふられたボールが$1$つずつある．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)以下のような操作でボールを$1$列に並べる：

(i) $1$番のボールを適当な位置におく．
(ii) $2$番のボールを$1$番のボールの左または右に同じ確率でおく．
(iii) $3$番のボールをすでに並んでいる$2$つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．
\mon[$\tokeishi$] 以下$n$番まで番号順に，$k$番のボールを，すでに並んでいるボールの一番左または間または一番右に同じ確率でおく，ことを繰り返す．

例えば，左から$2$番，$1$番，$3$番のボールが並んでいるとき，$4$番のボールが$2$番と$1$番の間におかれる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．
$n$番のボールをおき終えたとき，$i$番のボールが左から$j$番目に並ぶ確率は$\displaystyle \frac{1}{n}$であることを証明せよ．ただし，$i$と$j$は$1$以上，$n$以下の整数とする．
(2)$(1)$のボールの列を，（左から）番号順に並び替えるため，以下の操作を考える：
隣り合った$2$つのボールの組で，左のボールの番号が右のそれより大きなもの（入れ替え可能な組と呼ぶ）が存在するとき，そのようなボールの組を$1$つ選び，入れ替える．
入れ替え可能な組が複数あった場合に，入れ替える組をどのように選んだとしても，この操作を繰り返すことにより，すべてのボールの列は，必ず番号順の列になることを証明せよ．
(3)$(2)$の操作の回数は，入れ替える組の選び方とは無関係であることを証明せよ．
(4)$(2)$においてボールの列を番号順に並べ替えるとき，$i$番のボールを，より番号の小さいボールと入れ替える回数の期待値を$E_i$とする．このとき，
\[ \sum_{i=1}^n E_i \]
を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の各問いに答えよ．

\mon[（ア）] $\displaystyle \frac{8}{9}<\frac{q}{p}<\frac{9}{10}$をみたす自然数$p,\ q$における$p$の最小値を記せ．

\mon[（イ）] $\displaystyle \frac{2013}{2014}<\frac{q}{p}<\frac{2014}{2015}$をみたす自然数$p,\ q$における$p$の最小値を記せ．

(2)自然数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc=1$をみたすとき，次の各問いに答えよ．

\mon[（ア）] 自然数$p,\ q$が$dq-cp>0$，$ap-bq>0$をみたすとき，$p$の最小値および$p$が最小となるような$q$の値をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
\mon[（イ）] $\displaystyle \frac{c}{d}<\frac{q}{p}<\frac{a}{b}$をみたす自然数$p,\ q$で$p$が最小となるような分数$\displaystyle \frac{q}{p}$を考えることにより，$a+c$，$b+d$が互いに素であることを示せ．
\mon[（ウ）] $A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\ a+d=10$のとき，$(A+A^{-1})^3$の値を求めよ．

$\displaystyle S_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．以下の問いに答えよ．

(1)$x \neq -1$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x+1}=\sum_{k=0}^{n-1} (-x)^k+\frac{(-x)^n}{x+1}$が成立することを証明せよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$のとき，不等式$\displaystyle -\frac{1}{n+1} \leqq \int_0^1 \frac{(-x)^n}{x+1} \, dx \leqq \frac{1}{n+1}$が成立することを証明せよ．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n-1} \int_0^1 (-x)^k \, dx$が成立することを証明せよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[ス]$に適する数値，式などを記せ．

(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり，この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である．この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると，三角形の面積は$[キ]$である．
(3)同じ$2$つの箱と，同じ$4$つの球がある．$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである．また，大小の$2$つの箱と，$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき，すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである．ただし，片方の箱のみに球が入っている場合も含む．
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2$の値は$[コ]$，$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる．
(5)大小の$2$個のさいころを投げ，出た目が同じ場合は$10$点，大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点，それ以外の場合には得点は得られないとするとき，点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で，得点の期待値は$[ス]$点である．

$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3-x$と$C_2:g(x)=x^3+x^2+ax$について考える．ただし，$a$は定数である．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{1}{2},\ -\frac{3}{8})$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{B}(p,\ q)$において曲線$C_1$と直線$\ell$は交わっている．以下の問題に答えよ．

(1)曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ．
(2)直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ．
(4)関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ．また，このときの定数$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$a=1$のとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$p,\ q$は自然数とする．$\alpha,\ \beta$は$\alpha>\beta$を満たす$2$次方程式$x^2-x-1=0$の解とする．$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を

$a_1=0,\quad b_1=1$
$a_{n+1}=(p+q)a_n+pb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_{n+1}=pa_n+qb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)$a_n>0 (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$かつ$b_n>0 (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$となることを示せ．
(2)$c_n=\alpha a_n+b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$，$d_n=-a_n+\alpha b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$c_n=(p \alpha+q)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$かつ$d_n=\alpha (p \beta+q)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)$p \beta+q>0$のとき，$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}>\frac{a_n}{b_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．

$0<t<1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる点を$\mathrm{C}$とし，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t \overrightarrow{b}$となる点を$\mathrm{D}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(1-t) \overrightarrow{a}$となる点を$\mathrm{E}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$3|\overrightarrow{a}|^2+6|\overrightarrow{b}|^2-9|\overrightarrow{c}|^2=2|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2$となることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$および$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$t$を用いて多項式で表し，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

$1$個のサイコロを$1$回投げるごとに，出た目によって，点$\mathrm{P}$が座標平面上を，次の規則に従って動くものとする．

最初は原点にあり，偶数が出た場合は$x$軸の正の方向に出た目の数だけ進み，奇数が出た場合は$y$軸の正の方向に出た目の数だけ進む．

点$\mathrm{P}$の到達点の座標を$(x_0,\ y_0)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)サイコロを$3$回投げたとき，$x_0=0$かつ$y_0=9$となる確率を求めよ．
(2)サイコロを$n$回投げたとき，$x_0=2n+2$かつ$y_0=0$となる確率を$n$を用いて表せ．
(3)サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が$\displaystyle \frac{x_0}{2}<y_0<-\frac{{x_0}^3}{4}+8$の表す領域に存在する確率を求めよ．
(4)サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が${x_0}^2+{y_0}^2-8x_0-2y_0+13>0$の表す領域に存在する確率を求めよ．