「分数」について
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公立 奈良県立医科大学 2014年 第1問$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．このとき，$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{50}$は小数第何位に初めて$0$でない数字が現れるか．
公立 奈良県立医科大学 2014年 第4問$\displaystyle y=\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}+\sin x (0 \leqq x<2\pi)$とする．このとき$y$の取り得る範囲を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2014年 第8問次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n^2} \left( \cos \frac{\pi}{2n}+2 \cos \frac{2\pi}{2n}+\cdots +n \cos \frac{n\pi}{2n} \right) \]
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n^2} \left( \cos \frac{\pi}{2n}+2 \cos \frac{2\pi}{2n}+\cdots +n \cos \frac{n\pi}{2n} \right) \]
公立 奈良県立医科大学 2014年 第10問次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-1}^1 \left( x^2+x-\frac{x^5}{x^2+2} \right) \, dx \]
\[ \int_{-1}^1 \left( x^2+x-\frac{x^5}{x^2+2} \right) \, dx \]
公立 奈良県立医科大学 2014年 第11問点$\mathrm{P}$が楕円$x^2+4y^2=4$の上を動くとき，$\mathrm{P}$から定点$\displaystyle \mathrm{A}(a,\ 0) \left( 0<a<\frac{3}{2} \right)$への距離$L(p)$の最小値を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2014年 第12問$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)$とし，$\displaystyle g(x)=\sum_{k=1}^3 \frac{f(x) \cdot b_k}{f^\prime(a_k) \cdot (x-a_k)}$とする．$g(x)$を$px^2+qx+r$の形で表したときの$p,\ q,\ r$の値を求めよ．ただし，$a_1=1$，$a_2=-2$，$a_3=-1$，$b_1=12$，$b_2=3$，$b_3=4$とする．
公立 名古屋市立大学 2014年 第4問$f(x)$は$x$の$4$次関数であり，点$\mathrm{A}(2,\ 1)$，点$\mathrm{B}(0,\ k)$，点$\displaystyle \mathrm{C} \left( -1,\ \frac{13}{4} \right)$の$3$点で極値をもつ．次の問いに答えよ．
(1)$k$および$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$が原点$\mathrm{O}$になるように，曲線$y=f(x)$を平行移動した曲線の方程式$y=g(x)$を求めよ．
(3)放物線$y=px^2$が$y=g(x)$と原点$\mathrm{O}$以外で共有点をもたないための$p$の条件を求めよ．
（図は省略）
(1)$k$および$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$が原点$\mathrm{O}$になるように，曲線$y=f(x)$を平行移動した曲線の方程式$y=g(x)$を求めよ．
(3)放物線$y=px^2$が$y=g(x)$と原点$\mathrm{O}$以外で共有点をもたないための$p$の条件を求めよ．
（図は省略）
公立 名古屋市立大学 2014年 第4問$xy$平面において，曲線$y=nx^2$（$n$は自然数，$x \geqq 0$）を$C_n$とし，直線$y=1$を$L$とする．$2$つの曲線$C_n$，$C_{n+1}$および$L$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$S_n$を求めよ．
(2)任意の$n$に対して$S_n>S_{n+1}$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k>\frac{1}{2}$となる最小の$n$を求めよ．
(1)$S_n$を求めよ．
(2)任意の$n$に対して$S_n>S_{n+1}$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k>\frac{1}{2}$となる最小の$n$を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2014年 第4問$x \geqq 0$で定義される関数$f(x)=xe^{\frac{x}{2}}$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$f(x)$の第$1$次導関数を$f^\prime(x)$，第$2$次導関数を$f^{\prime\prime}(x)$とする．$f^\prime(2)$，$f^{\prime\prime}(2)$を求めよ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$，$g(x)$の第$1$次導関数を$g^\prime(x)$，第$2$次導関数を$g^{\prime\prime}(x)$とする．$g^\prime(2e)$，$g^{\prime\prime}(2e)$を求めよ．
(1)$f(x)$の第$1$次導関数を$f^\prime(x)$，第$2$次導関数を$f^{\prime\prime}(x)$とする．$f^\prime(2)$，$f^{\prime\prime}(2)$を求めよ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$，$g(x)$の第$1$次導関数を$g^\prime(x)$，第$2$次導関数を$g^{\prime\prime}(x)$とする．$g^\prime(2e)$，$g^{\prime\prime}(2e)$を求めよ．
公立 会津大学 2014年 第1問次の空欄をうめよ．
(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(i) $\displaystyle \int \frac{dx}{x(\log x)^2}=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_{6\pi}^{7\pi} x \sin x \, dx=[ロ]$
(iii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \cos x \, dx=[ハ]$
(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n(n+3)}-n)=[ニ] \]
(3)$3^x=5^y=15^{6}$をみたす実数$x,\ y$について，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[ホ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$からの距離の比が$1:2$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を表す曲線の方程式は$[ヘ]$である．
(5)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 3,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ -2)$の両方に垂直で，大きさが$1$であるベクトルは$[ト]$と$[チ]$である．
(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(i) $\displaystyle \int \frac{dx}{x(\log x)^2}=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_{6\pi}^{7\pi} x \sin x \, dx=[ロ]$
(iii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \cos x \, dx=[ハ]$
(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n(n+3)}-n)=[ニ] \]
(3)$3^x=5^y=15^{6}$をみたす実数$x,\ y$について，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[ホ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$からの距離の比が$1:2$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を表す曲線の方程式は$[ヘ]$である．
(5)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 3,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ -2)$の両方に垂直で，大きさが$1$であるベクトルは$[ト]$と$[チ]$である．